Analysis

1418 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
wobei wir uns das mittlere Integral für die zweite Gleichheit als die konvergente
Reihe
p∈P z ∞ log p
p xz+1 dx geschrieben denken. Wären wir etwas gebildeter
und wüßten, daß die Laplace-Transformation Konvolutionen in Produkte
verwandelt, so könnten wir auch von der offensichtlichen Darstellung
von Φ(z) als Laplace-Transformierte eines diskreten Maßes und von 1/z als
Laplace-Transformierte der konstanten Funktion 1 ausgehen und so die inverse
Laplace-Transformierte von Φ(z)/z finden. Substituieren wir z + 1 für
z, so ergibt sich für Re(z) > 0 die Gleichung
und weiter
Φ(z + 1)
z + 1
Φ(z + 1)
z + 1 =
− 1
z =
∞
0
∞
0
ϑ(e t ) e −t e −zt dt
(ϑ(e t ) e −t −1) e −zt dt
Auf der linken Seite steht aber eine Funktion, die sich nach unseren Erkenntnissen
im Beweis von 4.1.9 holomorph auf eine offene Umgebung der abgeschlossenen
Halbebene Re(z) ≥ 0 fortsetzen läßt. Auf der rechten Seite ist
(ϑ(et ) e−t −1) für t ∈ [0, ∞) betragsmäßig beschränkt nach 4.1.17. Also exis-
T
tiert nach dem Taubersatz 4.1.14 der Grenzwert limT →∞ 0 ϑ(et ) e−t −1 dt
und ist eine reelle Zahl. Substituieren wir nun wieder x = et , so folgt das
Lemma.
Lemma 4.1.19. Sei ϑ(x) =
p≤x log p wie im vorhergehenden Lemma. So
gilt
lim ϑ(x)/x = 1
x→∞
Beweis. Gäbe es für λ > 1 beliebig große x mit ϑ(x) ≥ λx, so hätten wir für
alle solchen x die Abschätzung
λx
x
ϑ(t) − t
t 2
dt ≥
λx
x
λx − t
t 2
dt =
λ
1
λ − s
s 2
ds = C(λ) > 0
im Widerspruch zur Konvergenz des fraglichen Integrals nach 4.1.18. Gäbe
es für λ < 1 beliegig große x mit ϑ(x) ≤ λx, so fänden wir ähnlich für alle
derartigen x die Abschätzung
x
λx
ϑ(t) − t
t 2
dt ≤
x
λx
λx − t
t 2
dt =
1
λ
λ − s
s 2
ds = c(λ) < 0
im Widerspruch zur Konvergenz des fraglichen Integrals nach 4.1.18.