Analysis

706 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
f ∈ L 2 (R; µ) auf diejenige fast überall definierte Funktion abbildet, die an
der Stelle x ∈ R den Wert e i tx f(x) annimmt. Die 1 meint die konstante
Funktion 1 auf R, die ja in Bezug auf jedes endliche Borelmaß quadratintegrierbar
ist. Das Wörtchen “lokal” spielt darauf an, daß die Darstellung in
gewisser Weise nur “lokal um den Vektor v” beschrieben wird. Eine globale
Beschreibung werden wir als “Spektralzerlegung” in 3.8.1 kennenlernen, und
aus dieser Spektralzerlegung leiten wir dann auch erst den obigen Satz über
die lokale Struktur her. Der besseren Übersichtlichkeit halber stelle ich die
Abbildungen dieses Satzes auch noch in einem kommutativen Diagramm dar:
f(x) ∈ L 2 (R; µ)
ϕ
↩→ H
↓ (e i tx ·) ↓ ↓ ρ(t)
e i tx f(x) ∈ L 2 (R; µ)
ϕ
↩→ H
1 ↦→ v
Übung 3.1.6. Gegeben ein Borelmaß µ auf R zeige man, daß die Abbildung
ρ : R → U(L 2 (R; µ)) mit (ρ(t)f)(x) = e i tx f(x) für f ∈ L 2 (R; µ) eine unitäre
Darstellung ist, daß jedoch ρ als Abbildung von R in den Raum der Operatoren
auf unserem Hilbertraum mit seiner Operatornorm im allgemeinen nicht
stetig ist: Ist µ das Lebesguemaß, so gilt sogar s = t ⇒ ρ(t) − ρ(s) = 2.
Übung 3.1.7. Man zeige unter der Annahme der Gültigkeit von 3.1.4: Betrachten
wir zu einem Borelmaß µ auf R den Raum L 2 (R; µ) als unitäre
Darstellung von R wie in 3.1.6, so wird für f ∈ L 2 (R; µ) das zugehörige Maß
µf gegeben durch die Formel µf = |f| 2 µ.
3.1.8. Ich formuliere diesen Satz auch noch im unwesentlich allgemeineren
Fall einer Geradengruppe, als da heißt der additiven Gruppe G eines eindimensionalen
reellen Vektorraums. Diese Allgemeinheit scheint mir aus mehreren
Gründen sinnvoll: Erstens hoffe ich, daß selbst im Fall G = R die
Aussage übersichtlicher wird, wenn in der Notation die drei verschiedenen
Bedeutungen von R als (1) dargestellte Gruppe, (2) deren Charaktergruppe
und (3) auf dem Hilbertraum operierender Körper getrennt werden. Zweitens
sind Operationen von Geradengruppen auf Hilberträumen in der Quantenmechanik
besonders natürlich, da die zeitliche Entwicklung jedes quantenmechanischen
Systems ja eigentlich durch eine unitäre Operation der Gruppe
G = T aller Zeitspannen auf dem Hilbertraum H aller Zustände des Systems
modelliert wird. Und drittens gilt unser Satz in dieser Gestalt unverändert
für die additive Gruppe jedes endlichdimensionalen reellen Vektorraums
G und mutatis mutandis für G eine beliebige kommutative “lokal kompakte
Hausdorff’sche topologische Gruppe”, besonders wichtig wäre in diesem
Zusammenhang etwa die Gruppe der Translationen des Anschauungsraums.