Analysis

1058 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
2. Die Matrixkoeffizientenabbildung liefert eine Injektion mit dichtem Bild
L∈irr G
(L ∗ ⊗C L) ↩→ L 2 (G)
und die Bilder der Summanden sind paarweise orthogonale Teilräume.
Gegeben ein G-invariantes Skalarprodukt auf L ist das davon induzierte
Skalarprodukt auf L ∗ ⊗C L das (dim L)-fache des darauf durch Restriktion
von L 2 (G) induzierten Skalarprodukts.
10.10.3. Nach dem Lemma von Schur unterscheiden sich zwei Isomorphismen
zwischen irreduziblen Darstellungen i, j : M ∼ → L ∗ unter den gegebenen
Voraussetzungen höchstens um einen Skalar, i = λj mit λ ∈ k. Die zwischen
ihren Endomorphismenringen induzierten Isomorphismen f ↦→ i ◦ f ◦ i −1 und
f ↦→ j ◦ f ◦ j −1 sind also dieselben. Ähnlich überlegt man sich, daß das von
einem G-invarianten Skalarprodukt auf L induzierte Skalarprodukt auf L ∗ ⊗L
von dem zuvor gewählten Skalarprodukt gar nicht abhängt.
10.10.4. Der analoge Satz ?? für den Fall einer endlichen Gruppe G wirkt
vielleicht auf den ersten Blick verschieden um einen Faktor |G|. Unsere Operation
durch Faltung hier beinhaltet jedoch die Multiplikation einer stetigen
Funktion mit dem normierten Haar-Maß und ist deshalb im Fall einer endlichen
Gruppe G um eben diesen Faktor verschieden von der in ?? betrachteten
Operation des Gruppenrings.
10.10.5. Da C(G) ⊂ L 2 (G) ⊂ L 1 (G) stetige Einbettungen von normierten
Vektorräumen sind und da die Operation stetige Abbildungen L 1 (G) →
EndC M liefert, muß nach den Orthonormalitätsrelationen für Matrixkoeffizienten
insbesondere die orthogonale Projektion auf den Teilraum L ∗ ⊗C L ⊂
L 2 (G) gerade das (dim L)-fache der Komposition der Faltungsoperation mit
dem kanonischen Isomorphismus L 2 (G) → EndC L ∗ ∼ → L ∗ ⊗C L sein.
Beweis. 1. Unsere Matrixkoeffizientenabbildung V ∗ ⊗C V → C(G) ist ein Homomorphismus
von Darstellungen für geeignete Operationen von G × G auf
beiden Seiten, genauer gilt offensichtlich cgϕ,v = g ∗ cϕ,v und cϕ,gv = cϕ,v ∗ g −1
für alle g ∈ G. Die Abbildungen aus unserem Satz sind demnach Morphismen
zwischen Darstellungen von (G × G). Nach ?? sind diese Darstellungen sogar
irreduzibel, so daß als einzige offene Frage bleibt, das Wievielfache des üblichen
Isomorphismus im Fall M ∼ = L ∗ genommen werden muß. Es scheint mir
besonders übersichtlich, das in physikalischer Notation ausrechnen. Gegeben
ein komplexer Vektorraum L und ein Vektor v ∈ L notieren wir |v〉 die lineare
Abbildung C → L, λ ↦→ λv und notieren Elemente ϕ ∈ L ∗ des Dualraums als
〈ϕ|. Für ϕ, ψ ∈ L ∗ und v, w ∈ L ergibt sich damit, wenn wir die C-linearen