Analysis

1076 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Korollar 11.2.18. Ist Y lokal kompakt und Z ein beliebiger topologischer
Raum, so ist das Auswerten C(Y, Z) × Y → Z stetig.
Beweis. Das Auswerten entspricht unter der Bijektion im Satz der Identität
auf C(Y, Z) = X rechts.
Lemma 11.2.19 (Reguläre Darstellungen). Ist G eine lokal kompakte
Gruppe, so erhalten wir durch die Formeln (´xf)(z) := f(x −1 z) bzw. (`xf)(z) :=
f(zx) zwei stetige Operationen von G auf dem Raum C(G) aller stetigen komplexwertigen
Funktionen auf unserer Gruppe.
11.2.20. Diese Darstellungen heißen die stetige linksreguläre bzw. die stetige
rechtsreguläre Darstellung von G. Eine weitreichende Verallgemeinerung
dieses Lemmas werden wir als Satz 11.3.13 beweisen.
Beweis. Es gilt, die Stetigkeit zum Beispiel der Rechtsoperation C(G)×G →
C(G), (f, x) ↦→ `xf zu zeigen. Diese ist jedoch mit 11.2.13 gleichbedeutend
zu Stetigkeit der Abbildung C(G) × G × G → C, (f, x, z) ↦→ f(xz), und
die Stetigkeit dieser Abbildung folgt aus der Stetigkeit der Verknüpfung in
unserer Gruppe und der Stetigkeit der Auswertungsabbildung 11.2.18.
Übung 11.2.21. Man zeige, daß für jede lokal kompakte Gruppe G die rechtsund
die linksreguläre Darstellung zusammen eine stetige Darstellung von
G × G auf C(G) definieren.
Korollar 11.2.22. Seien X, Y, Z topologische Räume. Sind X und Y lokal
kompakt, so induziert unsere Bijektion Ens(X × Y, Z) → Ens(X, Ens(Y, Z))
einen Homöomorphismus
C(X × Y, Z) ∼ → C(X, C(Y, Z))
Ergänzung 11.2.23. In der alternativen Schreibweise liest sich das Z X×Y ∼ →
(Z Y ) X und wird manchmal das Exponentialgesetz genannt. Ich benutze
diese Aussage im Weiteren nicht und zeige sie nur der Vollständigkeit halber.
Beweis. Die Stetigkeit dieser Abbildung ist nach 11.2.13 gleichbedeutend
erst zur Stetigkeit der induzierten Abbildung C(X × Y, Z) × X → C(Y, Z)
und durch erneutes Anwenden von 11.2.13 auch zur Stetigkeit der induzierten
Abbildung C(X × Y, Z) × X × Y → Z. Diese Stetigkeit folgt jedoch
aus 11.2.18, da mit X und Y auch X × Y lokal kompakt ist. Also
ist die im Korollar betrachtete Bijektion stetig und es bleibt nur noch,
die Stetigkeit ihrer Umkehrabbildung zu zeigen. Die Stetigkeit dieser Umkehrabbildung
ist jedoch nach 11.2.13 gleichbedeutend zur Stetigkeit der
induzierten Abbildung C(X, C(Y, Z)) × X × Y → Z, die hinwiederum stetig
sein muß als Verknüpfung von zwei nach 11.2.13 stetigen Abbildungen
C(X, C(Y, Z)) × X × Y → C(Y, Z) × Y → Z.