Analysis

8. WURZELSYSTEME 1031
sowie 〈α, β ∨ 〉 = 0 ⇔ 〈β, α ∨ 〉 = 0. Es ist deshalb möglich, die in der Cartan-
Matrix eines Wurzelsystems enthaltene Information sehr übersichtlich graphisch
darzustellen durch das sogenannte Dynkin-Diagramm, das wie folgt
gebildet wird: Man malt zunächst für jede einfache Wurzel α ∈ Π einen dicken
Punkt; dann verbindet man je zwei Punkte α = β durch einen (〈α, β ∨ 〉〈β, α ∨ 〉)fachen
Strich bzw. gar nicht, falls gilt (〈α, β ∨ 〉〈β, α ∨ 〉) = 0; und schließlich
versieht man die 2-fachen und 3-fachen Striche mit einem Pfeil in Richtung
der Wurzel α mit 〈α, β ∨ 〉 = −1, d.h. in Richtung der kürzeren Wurzel bezüglich
eines und damit jedes unter der Weylgruppe invarianten Skalarprodukts.
Proposition 8.5.4 (Klassifikation von Wurzelsystemen). Gegeben ein
Körper k der Charakteristik Null liefert das Bilden des Dynkin-Diagramms
eine Bijektion
⎧
⎨
⎩
unzerlegbare
Wurzelsysteme über k,
bis auf Isomorphismus
⎫
⎬
⎭
∼
→
⎧
⎨
⎩
endliche Diagramme,
die in nebenstehender Liste
aufgeführt sind
Beweis. Ein Wurzelsystem aus seinem Dynkindiagramm zu rekonstruieren
ist nicht weiter schwer: Man bildet den freien Vektorraum über den Knoten
des Diagramms, nennt seine kanonischen Basisvektoren “einfache Wurzeln”,
erklärt dann zu jeder einfachen Wurzel eine“einfache Spiegelung”mithilfe der
in unserem Diagramm enthaltenen Information, und erhält das Wurzelsystem
zurück als die Vereinigung der Bahnen der einfachen Wurzeln unter der
von den einfachen Spiegelungen erzeugten “Weylgruppe”. Zerfällt das Dynkindiagramm
eines Wurzelsystems in zwei untereinander unverbundene Teile,
so kommutieren alle einfachen Spiegelungen zum einen Teil mit allen einfachen
Spiegelungen zum anderen Teil, und wir erhalten erst eine Zerlegung
der Weylgruppe in ein Produkt zweier miteinander kommutierender Untergruppen
und daraus dann auch eine Zerlegung unseres Wurzelsystems. Das
Dynkin-Diagramm jedes unzerlegbaren Wurzelsystems muß folglich zusammenhängend
sein. Weiter muß die Weylgruppe eines Wurzelsystems auf dem
Q-Spann der Wurzeln als endliche Spiegelungsgruppe operieren. Der zugehörige
Coxetergraph entsteht nach 8.1.12 aus dem Dynkindiagramm, indem
man Doppelkanten als Kanten der Wertigkeit 4 interpretiert und Dreifachkanten
als Kanten der Wertigkeit 6. Ein kurzer Blick auf Seite 999 zeigt dann,
daß nur die Diagramme unserer nebenstehenden Liste als Dynkin-Diagramme
unzerlegbarer Wurzelsysteme in Frage kommen, und die Injektivität der in
der Proposition gegebenen Abbildung haben wir bereits zu Beginn des Beweises
gezeigt. Es bleibt, ihre Surjektivität nachzuweisen. Das zeigt man,
indem man dieses Argument umkehrt: Man betrachtet zunächst zu dem gegebenen
Dynkindiagramm den entsprechenden Coxetergraphen, findet nach
⎫
⎬
⎭