Analysis

782 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Übung 1.5.4. Ist A eine endlichdimensionale R-Algebra und G ⊂ GL(A)
ihre Automorphismengruppe, so besteht Lie G ⊂ End(A) genau aus allen
Derivationen von A, als da heißt, aus allen R-linearen Abbildungen d :
A → A mit der Eigenschaft d(ab) = (da)b + a(db) für alle a, b ∈ A.
Übung 1.5.5. Ist G eine Matrix-Liegruppe und N ⊂ V G ein abgeschlossener
Normalteiler, so gilt für alle X ∈ Lie G und Y ∈ Lie N sogar [X, Y ] ∈
Lie N. In der in ?? eingeführten Terminologie ist also die Liealgebra eines
Normalteilers stets ein Lie-Ideal.
Ergänzung 1.5.6. Unter einer partiellen Matrix-Liegruppe verstehen wir
eine Untermannigfaltigkeit M ⊂ Aut(V ) der Automorphismengruppe eines
endlichdimensionalen reellen Vektorraums derart, daß (1) die Identität zu M
gehört und daß es (2) eine Umgebung U der Identität gibt mit den Eigenschaften
(U ∩ M)(U ∩ M) ⊂ M und (U ∩ M) −1 ⊂ M. Jede offene Umgebung der
Identität in einer partiellen Matrix-Liegruppe ist natürlich auch ihrerseits eine
partielle Matrix-Liegruppe. Wir nennen zwei partielle Matrix-Liegruppen
äquivalent genau dann, wenn es eine Umgebung der Identität gibt, die mit
beiden denselben Schnitt hat. Eine Äquivalenzklasse unter dieser Äquivalenzrelation
nennen wir einen Matrix-Liegruppenkeim. Das Bilden des
Tangentialraums beim neutralen Element liefert nun eine Bijektion
Matrix-Liegruppenkeime ∼→ Unter-Liealgebren
in Aut(V )
von End(V )
und die inverse Abbildung ordnet jeder Unter-Liealgebra g ⊂ End(V ) den
Matrix-Liegruppenkeim zu, der durch das Bild hinreichend kleiner offener
Umgebungen der Null in g unter der Exponentialabbildung repräsentiert
wird. Wir zeigen das erst in 5.9.4, es folgt aus dem sogenannten “Frobenius-
Theorem” 5.9.2.
1.5.7. Unter einer Lie-Algebra über einem Körper k versteht man im allgemeinen
eine k-Algebra g, deren Verknüpfung in diesem Zusammenhang meist
(x, y) ↦→ [x, y] notiert wird, mit der Eigenschaft [x, x] = 0 ∀x ∈ g, in der
darüber hinaus die Jacobi-Identität
x, [y, z] + z, [x, y] + y, [z, x] = 0
gilt für alle x, y, z ∈ g. Daß in unseren Algebren Lie G diese Formeln gelten,
rechnet man mühelos nach. Daß gerade diese Formeln einen mit der
Theorie der Liegruppen aufs engste verwobenen Typ von Algebra definieren,
erkennt man mit der vorhergehenden Bemerkung in Anbetracht des Satzes
von Ado, nach dem sich jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra als
Unter-Liealgebra in die Algebra End(V ) der Endomorphismen eines endlichdimensionalen
Vektorraums einbetten läßt.