Analysis

1166 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
so folgt unter der Zusatzbedingung supp(g) ⊂ V bereits
fν(z) ≤ n
i=1 cig(xiz)hν(z)
≤ n
i=1
−1
cig(xiz)(hν(xi ) + δ)
da ja gilt g(xiz) = 0 ⇒ xiz ∈ V ⇒ z ∈ x −1
i V . Immer unter unserer Zusatzbedingung
supp(g) ⊂ V folgt weiter erst
und wegen h1 + h2 ≤ 1 dann
(fν : g) ≤ ci(hν(x −1
i ) + δ)
(f1 : g) + (f2 : g) ≤ ci(1 + 2δ)
(f1 : g) + (f2 : g) ≤ (f : g)(1 + 2δ)
≤ ((f1 + f2 : g) + δ(h : g))(1 + 2δ)
µg(f1) + µg(f2) ≤ (µg(f1 + f2) + δµg(h))(1 + 2δ)
≤ (µg(f1 + f2) + δ(h : w))(1 + 2δ)
Das Lemma folgt, wenn wir zu Beginn δ in Abhängigkeit von ε klein genug
wählen und das zugehörige V nehmen.
Setzen wir für f = 0 nun If = [(w : f) −1 , (f : w)] , so gilt nach einer früheren
Abschätzung µg(f) ∈ If für alle f = 0. Damit kann man µg auffassen als
einen Punkt des Produkts
I =
0=f∈C + c (G)
Mit der Produkttopologie wird I ein Kompaktum nach dem Satz von Tychonoff
17.4.7, den wir im Anschluß beweisen. Für V ⊂ G eine offene Umgebung
des neutralen Elements betrachten wir nun
If
KV = {µg| supp g ⊂ V } ⊂ I
Sicher gilt V ⊂ W ⇒ KV ⊂ KW und wir folgern, daß es ein µ ∈ I gibt mit
µ ∈ KV ∀V. Wir verstehen nun µ als eine Abbildung
µ : C + c (G) → R
indem wir µ(f) als die Projektion von µ auf seine f-Komponente definieren
für f = 0 und µ(0) = 0 setzen. Dann behaupten wir, daß das so erklärte µ
additiv ist und mit der Multiplikation mit nichtnegativen Skalaren vertauscht.
Gegeben f1, f2 ∈ C + c (G) und ε > 0 und V eine Umgebung des neutralen