Analysis

1128 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Beweis. Gegeben eine irreduzible unitäre Darstellung E von G bilden wir
zu EK die “duale Darstellung” E ⊛
K
=
λ∈ ˆ K E(λ)∗ und die konjugierte Dar-
stellung EK und erhalten aus dem invarianten Skalarprodukt auf E einen
von Null verschiedenen g-Modulhomomorphismus EK → E ⊛
K . Da EK einfach
ist, ist der Raum dieser Homomorphismen eindimensional, und je zwei
Homomorphismen, die von einem Skalarprodukt auf EK herkommen, unterscheiden
sich höchstens um eine positive reelle Konstante. Wir können also
E aus EK zurückgewinnen, indem wir das bis auf einen Skalar eindeutige
bestimmte g-invariante Skalarprodukt auf EK nehmen und komplettieren.
Die Operation von G liegt dann fest auf EK, da dort alle Ableitungen der
Matrixkoeffizienten bekannt sind, und muß auf E durch stetige Fortsetzung
gegeben sein.
Definition 13.3.5. Sei U ⊂◦ R n eine offene Teilmenge. Ein C ∞ -Differentialoperator
auf U ist eine C-lineare Abbildung
D : C ∞ (U) → C ∞ (U)
die sich beschreiben läßt durch eine endliche Summe der Gestalt D = aα∂ α
in Multiindex-Schreibweise, mit aα ∈ C ∞ (U). Die aα sind durch die lineare
Abbildung D schon eindeutig festgelegt. Die Ordnung von D ist erklärt als
ord(D) = max{|α| | aα = 0} bzw. ord(D) = −∞ für den Null-Operator D =
0. Ein C ∞ -Differentialoperator heißt analytisch genau dann, wenn alle aα
analytische Funktionen sind. Ein C ∞ -Differentialoperator D heißt elliptisch
genau dann, wenn er nicht Null ist und wenn für k = ord(D) die Funktion
U × R n → C gegeben durch den Ausdruck
|α|=k aαX α keine Nullstellen hat
außerhalb von U × 0.
Satz 13.3.6. Ist U ⊂◦ R n eine offene Teilmenge und D : C ∞ (U) → C ∞ (U)
ein elliptischer analytischer Differentialoperator, so besteht der Kern von D
aus analytischen Funktionen.
Allgemeiner erklärt man für eine C ∞ -Mannigfaltigkeit M, welche linearen
Abbildungen D : C ∞ (M) → C ∞ (M) man C ∞ -Differentialoperatoren nennt,
und das Symbol σ(D) eines Operators der Ordnung k wird eine Abbildung
T ∗ M → R. Der Differentialoperator D heißt nun elliptisch genau dann, wenn
die Nullstellenmenge von σ(D) genau der Nullschnitt von T ∗ M ist. Wieder
besteht der Kern eines elliptischen analytischen Differentailoperators auf einer
analytischen Mannigfaltigkeit aus analytischen Funktionen. Ist speziell
G eine Lie-Gruppe so trägt G genau eine Struktur als analytische Gruppe
derart, daß die Exponentialabbildung exp : g → G analytisch ist. Für diese
analytische Struktur sind alle links- und alle rechtsinvarianten Vektorfelder