Analysis

6. STETIGKEIT IN MEHREREN VERÄNDERLICHEN 257
Beweis. Ist f stetig, so gibt es δ > 0 mit v − 0 ≤ δ ⇒ f(v) − f(0) ≤ 1.
Setzen wir C = 1/δ, so folgt f(v) ≤ Cv zunächst für alle Vektoren v der
Norm v = δ und dann durch Multiplikation mit Skalaren für alle v ∈ V .
Gibt es umgekehrt ein C > 0 mit f(v) ≤ Cv ∀v ∈ V , so finden wir für
alle ε > 0 ein δ = ε/C > 0 so daß gilt
v − w ≤ δ ⇒ f(v) − f(w) = f(v − w) ≤ Cδ = ε
Übung 6.9.15. Man zeige: Jede stetige lineare Abbildung zwischen normierten
Vektorräumen ist gleichmäßig stetig.
Übung 6.9.16. Die Menge aller stetigen reellwertigen Funktionen auf einem
Raum X notiere ich C(X, R). Das C steht hier für englisch “continous” und
französisch “continu”. Man zeige: Versehen wir die Menge C([a, b], R) aller
stetigen reellwertigen Funktionen auf einem kompakten reellen Intervall [a, b]
mit der Supremumsnorm, so wird das Integral f ↦→ b
f(t) dt eine stetige
a
Abbildung C([a, b], R) → R.
Übung 6.9.17. Bezeichnet C 1 ([a, b], R) ⊂ C([a, b], R) den Teilraum der einmal
stetig differenzierbaren Funktionen, so ist das Ableiten f ↦→ f ′ keine stetige
Abbildung C 1 ([a, b], R) → C([a, b], R).
Übung 6.9.18. Seien U, V , W normierte Vektorräume. Eine bilineare Abbildung
F : U × V → W ist stetig genau dann, wenn es eine Konstante C > 0
gibt mit F (u, v) ≤ Cuv. Man formuliere und beweise die analoge Aussage
auch für multilineare Abbildungen.
Übung 6.9.19. Gegeben eine Menge D und ein normierter Vektorraum V
erkläre man auf dem Raum Ens b (D, V ) der beschränkten Abbildungen D →
V eine Norm derart, daß die zugehörige Metrik die Metrik der gleichmäßigen
Konvergenz aus 6.3.5 wird.
Definition 6.9.20. Zwei Normen , | | auf einem reellen Vektorraum V
heißen äquivalent genau dann, wenn es positive Konstanten c, C > 0 gibt
derart, daß gilt
v ≤ C|v| und |v| ≤ cv ∀v ∈ V
Satz 6.9.21 (Äquivalenz von Normen). Auf einem endlichdimensionalen
reellen Vektorraum sind je zwei Normen äquivalent.
Beweis. Wir dürfen ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß V
der R n ist mit n ≥ 1 und daß eine unserer Normen die Maximumsnorm |v|