Analysis

254 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
dadurch erklären, daß dieser Gruppenhomomorphismus einen Vektorraumisomorphismus
auf sein Bild liefern soll. Insbesondere erhalten wir damit eine
kanonische Identifikation trans : V ∼ → V zwischen unserem Vektorraum
und dem Richtungsraum des zugehörigen affinen Raums. Diese Identifikation
scheint mir derart kanonisch, daß ich sie von nun an in Sprache und Notation
oft so behandeln werde, als seien diese beiden Vektorräume schlicht gleich.
Beispiel 6.8.6. Es scheint mir besonders sinnfällig, den uns umgebenden
Raum mathematisch als dreidimensionalen reellen affinen Raum zu modellieren:
Hierbei denkt man sich E als die Gruppe aller “Parallelverschiebungen”.
Ähnlich mag man die Zeit modellieren als einen eindimensionalen reellen affinen
Raum. Die leere Menge kann in meinen Konventionen nie ein affiner
Raum sein, es gibt hierzu jedoch auch andere Konventionen.
Ergänzung 6.8.7. Meist findet man in der Literatur die begriffliche Variante
eines affinen Raums über einem vorgegebenen Vektorraum: Darunter
versteht man dann eine Menge E mit einer freien transitiven Operation
des vorgegebenen Vektorraums. Ich ziehe die oben gegebene Variante vor,
da sie jeden Bezug auf einen vorgegebenen Vektorraum vermeidet und den
Anschauungsraum meines Erachtens besser modelliert.
Definition 6.8.8. Eine Abbildung ϕ : E → E ′ zwischen affinen Räumen
heißt eine affine Abbildung genau dann, wenn es eine lineare Abbildung
zwischen den zugehörigen Richtungsräumen ϕ : E → E ′ gibt mit
ϕ(p) − ϕ(q) = ϕ(p − q) ∀p, q ∈ E
Diese lineare Abbildung ϕ ist dann durch ϕ eindeutig bestimmt und heißt
der lineare Anteil unserer affinen Abbildung.
Übung 6.8.9. Jede Verknüpfung affiner Abbildungen ist affin. Der lineare Anteil
einer Verknüpfung affiner Abbildungen ist die Verknüpfung ihrer linearen
Anteile.
6.9 Normierte Räume
6.9.1. Unter einem reellen Vektorraum bzw. einem reellen Raum verstehen
wir einen Vektorraum bzw. einen affinen Raum über dem Körper der
reellen Zahlen. Wollen wir einen reellen Vektorraum bzw. affinen Raum mit
einer Metrik versehen, so reicht es, wenn wir jedem seiner Vektoren bzw.
Richtungsvektoren in geeigneter Weise eine “Länge” zuordnen. Einen solchen
abstrakten Längenbegriff für die Vektoren eines Vektorraums nennt man eine
“Norm”. Die Details folgen.