Analysis

3. WEGINTEGRALE 395
ist y1, . . . , yn ein anderes System linearer Koordinaten, und haben wir etwa
yi =
j aijxj für eine Matrix von reellen Zahlen aij, so gilt die Identität von
Kovektorfeldern dyi =
j aij dxj. Für die durch unsere Koordinatensysteme
bestimmten Vektorfelder haben wir dahingegen umgekehrt
∂
=
∂xj
∂
aij
∂yi
und benötigen die inverse Matrix, um ∂
∂yi durch die ∂
∂xj
i
auszudrücken. In
diesem Sinne “transformieren sich Kovektorfelder wie Koordinaten” und heißen
deshalb auch “kovariant”, wohingegen Vektorfelder sich “vermittels der
inversen transponierten Matrix transformieren” und deshalb “kontravariant”
heißen.
Definition 3.1.16. Sei φ : U → V eine differenzierbare Abbildung zwischen
halboffenen Teilmengen endlichdimensionaler reeller Räume X und Y.
1. Zwei Vektorfelder A : U → X und B : V → Y heißen φ-verwandt
und wir schreiben φ : A ❀ B genau dann, wenn für alle x ∈ U gilt
(dxφ)(Ax) = Bφ(x)
2. Zwei Kovektorfelder η : U → X ∗ und ω : V → Y ∗ heißen φ-verwandt
und wir schreiben φ : η ❀ ω genau dann, wenn für alle x ∈ U gilt
ηx = ωφ(x)◦dxφ oder gleichbedeutend mit der transponierten Abbildung
(dxφ) ⊤ : X ∗ → Y ∗ aus ?? zum Differential dxφ : Y → X notiert
ηx = (dxφ) ⊤ (ωφ(x))
3. Zwei reelle Funktionen g : U → R und f : V → R heißen φ-verwandt
und wir schreiben φ : g ❀ f genau dann, wenn gilt g = f ◦ φ, als da
heißt, wenn für alle x ∈ U gilt
g(x) = f(φ(x))
3.1.17. Unter einer differenzierbaren Bijektion mit differenzierbarer Umkehrabbildung
haben alle Vektorfelder, Kovektorfelder und Funktionen jeweils
genau einen Verwandten, und unter der Identität sind sie jeweils selbst dieser
einzige Verwandte. Ist allgemeiner φ : U → V differenzierbar aber sonst
beliebig, so hat jedes Kovektorfeld ω auf V immer noch genau einen “Rückwärtsverwandten”
auf U, der eben gegeben wird durch die Formel ηx =
(dxφ) ⊤ (ωφ(x)) und der notiert wird als
η = φ ∗ (ω)