Analysis

7. DER SATZ VON STOKES 583
7.3.8. Den Pfeil über einem Symbol benutze ich auch bei affinen Räumen als
Notation für den zugehörigen Raum von Richtungsvektoren, vergleiche ??.
Was im Einzelfall gemeint ist, muß der Leser aus dem Kontext erschließen.
Definition 7.3.9. Wir sagen, eine Karte (W, ϕ) einer orientierten Mannigfaltigkeit
habe die Orientierung ε für ε ∈ {+1, −1} genau dann, wenn für
jeden Punkt x ∈ W das Bild der Standardbasis unter dem Isomorphismus
dxϕ : R k ∼ → Tϕ(x)M die Orientierung ε hat. Nur die leere Karte kann beide
Orientierungen haben. Karten, die nicht zusammenhängend sind, besitzen
im allgemeinen weder die Orientierung +1 noch die Orientierung −1. Eine
nichtleere Karte der Orientierung +1 nennen wir eine positiv orientierte
Karte.
Übung 7.3.10. Jede orientierbare zusammenhängende Mannigfaltigkeit M besitzt
genau zwei Orientierungen. Hinweis: Gegeben zwei Orientierungen ist
die Menge aller Punkte p, an denen sie dieselbe Orientierung von TpM liefern,
ebenso offen wie die Menge aller Punkte p, an denen sie verschiedene
Orientierungen von TpM liefern. Nun verwende man 3.4.16.
Ergänzende Übung 7.3.11. Seien X und Y endlichdimensionale reelle Räume,
U ⊂◦ X eine offene Teilmenge und f : U → Y eine stetig differenzierbare Abbildung
mit überall surjektivem Differential. So ist für alle c ∈ Y nach 4.3.10
das Urbild M = f −1 (c) eine Untermannigfaltigkeit von X der Dimension
dim X − dim Y. Man zeige für alle p ∈ M die Formel TpM = ker dpf.
Übung 7.3.12. Man zeige: Ist V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum
und 〈 , 〉 eine von Null verschiedene symmetrische Bilinearform auf V und
c ∈ R eine Konstante, so ist M := {v ∈ V \0 | 〈v, v〉 = c} eine Hyperfläche
in V und unter der üblichen Identifikation trans : V ∼ → V haben wir TvM =
trans{w ∈ V | 〈v, w〉 = 0} oder abkürzend geschrieben
TvM = v ⊥
7.4 Integration von Differentialformen: Theorie
7.4.1. Wie im nächsten Abschnitt erklärt werden wird, ist die Integration von
Differentialformen in lokalen Koordinaten kein großes Kunststück und verallgemeinert
verschiedene Integrationsbegriffe, die Sie bereits kennengelernt
haben. Ich möchte Sie deshalb ermutigen, den nächsten Abschnitt vorzuziehen.
Andererseits muß man, um formal korrekte Aussagen machen zu können,
zuvor den Begriff einer integrierbaren Differentialform und ihres Integrals einführen.
Das soll in diesem eher technischen Abschnitt geschehen.