Analysis

3. GRUNDLEGENDES ZU FOURIERREIHEN 345
Das zeigt die Behauptung im Fall f(0) = f(2π). Im Fall f(0) = f(2π) müssen
wir noch eine extra Verrenkung machen und zunächst eine stetige Funktion
˜f finden mit ˜ f(0) = ˜ f(2π) sowie ˜ f − f2 < ε. Dann gibt es wieder ein
trigonometrisches Polynom g mit ˜ f − g2 < ε, also f − g2 < 2ε, und der
Beweis kann wie zuvor zu Ende geführt werden.
Korollar 3.3.6. Sei f : [0, 2π] → C stetig und seien cν = 〈e i νx , f〉 seine
Fourierkoeffizienten. So gilt f 2 2 = ∞
ν=−∞ |cν| 2 .
Beweis. Die Differenz f 2 2 − n
ν=−n |cν| 2 ist das Quadrat des Ausdrucks,
von dem wir gerade gezeigt haben, daß er gegen Null strebt.
Satz 3.3.7 (über die gleichmäßige Konvergenz der Fourierreihe).
Gegeben f : R → C stetig differenzierbar mit der Periode 2π konvergiert die
Fourierreihe von f gleichmäßig gegen f.
3.3.8. Der Satz gilt mit fast demselben Beweis auch noch, wenn unsere
Funktion nur “stückweise stetig differenzierbar” ist, wenn es also Punkte
0 = a0 < a1 < . . . < ak = 2π gibt derart, daß die Einschränkung von f
auf jedes der Intervalle [ai, ai+1] stetig differenzierbar ist. Die Details mag
der Leser zur Übung selbst ausarbeiten.
Beweis. Die Fourier-Koeffizienten cν = 〈e i νx , f〉 von f ergeben sich für ν = 0
aus den Fourier-Koeffizienten c ′ ν = 〈e i νx , f ′ 〉 von f ′ durch partielles Integrie-
ren zu
cν = 1
2π
f(x) e
2π 0
− i νx dx = − 1
2π
2π 0
f ′ − i νx (x) e
dx =
− i ν
− i c′ ν
ν
Jetzt gilt jedoch 2|αβ| ≤ (|α| 2 + |β| 2 ) für beliebige α, β ∈ C und es folgt
|cν| ≤ |c0| +
1
ν2 + |c′ ν| 2
< ∞
ν
ν=0
Also konvergiert die Funktionenfolge n
ν=−n cν e i νx gleichmäßig gegen eine
stetige Funktion g. Natürlich konvergiert unsere Reihe erst recht auf jedem
kompakten Intervall im quadratischen Mittel gegen diese Funktion g, aus
3.3.4 folgt also g = f und wir sind fertig.
3.3.9. Fassen wir eine stetig differenzierbare 2π-periodische Funktion f auf
als eine Funktion auf dem Einheitskreis und nehmen sie reellwertig an, so
gilt für ihre Fourier-Koeffizienten offensichtlich c−ν = ¯cν. Sie können zum
Beispiel in VIII.3.1 lernen, warum die Formel
∞
P (z) = c0 +
ν=1
cνz ν + c−ν ¯z ν