Analysis

502 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
wählen wir eine stetige Fortsetzung von M auf ein offenes Intervall J ⊃ I.
Nun erfüllt γ : I → V nach 5.1.19 unsere Differentialgleichung genau dann,
wenn es eine Integralkurve des zeitabhängigen Vektorfelds (t, v) ↦→ M(t)v auf
J × V ist. Dies zeitabhängige Vektorfeld ist lokal partiell lipschitzstetig, im
Sinne von 5.2.8, also besitzt es nach 5.2.8 zu jedem Anfangswert höchstens
eine auf I definierte Integralkurve, und das zeigt die Injektivität. Für den
Beweis der Surjektivität reicht es zu zeigen, daß jede maximale Integralkurve
des zeitabhängigen Vektorfelds (t, v) ↦→ M(t)v mit Anfangswert γ(t0) = v0
auf ganz J definiert ist. Sicher reicht es zu zeigen, daß sie bis zum oberen
Ende von J definiert ist. Sonst gäbe es aber b ∈ J derart, daß die Lösung
nicht in positiver Richtung über [0, b) hinaus fortgesetzt werden könnte. Es
gibt jedoch L mit M(t) ≤ L für alle t ∈ [0, b], daraus folgt für t ∈ [0, b)
erst
γ(t) =
v0
t
+ M(τ)γ(τ) dτ
≤ v0
t
+ L γ(τ) dτ
0
und dann γ(t) ≤ v0 e Lt nach dem Lemma von Gronwall 5.3.3, das wir im
Anschluß beweisen. Dann wäre aber γ(t) beschränkt auf t ∈ [0, b), nämlich
durch v0 e Lb , im Widerspruch zur letzten Aussage von 5.2.6 oder genauer
ihrem Analogon 5.2.8 für zeitabhängige Vektorfelder.
Lemma 5.3.3 (Gronwall). Ist b ∈ R≥0 und f : [0, b] → [0, ∞) stetig und
gibt es nichtnegative Konstanten L, C mit
f(t) ≤ L
t
0
f(τ) dτ + C
für alle t ≥ 0, so erfüllt f die Abschätzung f(t) ≤ C e Lt .
5.3.4. Es scheint mir von der Anschauung her ziemlich klar, daß eine differenzierbare
Funktion F mit der Eigenschaft F ′ ≤ F höchstens exponentiell
wachsen kann. Das Lemma von Gronwall präzisiert und verallgemeinert diese
Intuition.
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir L und C positiv
annehmen. Bezeichnet F (t) den Wert des obigen Integrals, so folgern wir erst
F ′ (t)
LF (t) + C
und dann durch Integrieren von 0 bis t mithilfe der Substitutionsregel weiter
L −1 log(LF (t) + C) − L −1 log C ≤ t alias log(LF (t) + C) ≤ Lt + log C und
durch Exponentieren und das Erinnern unserer Voraussetzungen schließlich
≤ 1
f(t) ≤ LF (t) + C ≤ C e Lt
0