Analysis

202 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
verwenden. Auch wenn g nicht umkehrbar ist, kann man in dieser Weise vorgehen,
statt g −1 (α) und g −1 (β) darf man dann eben irgendwelche a, b wählen
derart, daß g auf ganz [a, b] stetig differenzierbar ist und daß gilt α = g(a)
und β = g(b). Meist arbeiten wir sogar ohne explizite Erwähnung der Grenzen:
Suchen wir nur eine Stammfunktion, so kommt es auf die untere Grenze
eh nicht an und die obere Grenze wird mitgedacht und nach gelungener Integration
wieder “zurücksubstituiert”, wie es unsere Formel fordert.
Beispiel 4.6.7. Wir bestimmen eine Stammfunktion von f(y) = y √ 1 − y
durch die Substitution √ 1 − y = x, y = 1 − x 2 = g(x), dy = −2x dx zu
y √ 1 − y dy = (1 − x 2 )x(−2x) dx
= (2x 4 − 2x 2 ) dx
= 2
5 x5 − 2
3 x3
= 2
5 (1 − y)2√ 1 − y − 2
3 (1 − y)√ 1 − y
Satz 4.6.8 (Partielle Integration). Gegeben reelle Zahlen a < b und zwei
stetig differenzierbare Funktionen f, g : [a, b] → R gilt
b
a
fg ′ = fg| b
a −
Beweis. Nach der Produktregel gilt fg ′ = (fg) ′ − f ′ g auf [a, b], folglich stimmen
auch die Integrale dieser Funktionen überein.
b
a
f ′ g
Beispiele 4.6.9. x 2 e x dx = x 2 e x − 2x e x dx
= x 2 e x −2x e x + 2 e x dx
= (x 2 − 2x + 2) e x
log x dx = x log x − x 1
x dx
= x log x − x
4.6.10. Ich erkläre nun noch einen alternativen Zugang zur Exponentialfunktion,
der unsere Definition über eine a priori unmotivierte Reihe vermeidet.
Suchen wir eine stetig differenzierbare Funktion g : R → R>0 mit g ′ = g und
g(0) = 1, so haben wir ja nach der Substitutionsregel
x =
x
0
dt =
x
0
g ′ (t)
g(t)
dt =
g(x)
1
1
u du
Man definiert also notgedrungen eine Funktion log : R>0 → R durch die
Vorschrift log(y) = y 1 du, und die gesuchte Funktion g muß deren Um-
1 u
kehrfunktion sein.