Analysis

5. UNAUSGEGORENES ZUR FUNKTIONENTHEORIE 1455
Gittern Γ ⊂ Γ1 ⊂ V mit Γ1/Γ zyklisch von der Ordnung N. Wieder erhalten
wir eine Bijektion
C × \ GittN(C) ∼ →
⎧
⎨
⎩
Elliptische Kurven mit
zyklischer Untergruppe der Ordnung N,
bis auf Isomorphismus
durch die Vorschrift (Γ ⊂ Γ1) ↦→ (C/Γ ⊃ Γ1/Γ). Mit dem Elementarteilersatz
folgt, daß Mod ×
R C wieder transitiv auf GittN(C) operiert, und die Isotropiegruppe
von Z[i] ⊂ Z + ZN −1 i enspricht unter unseren Identifikationen der
Gruppe Γ0(N) aller Matrizen aus GL(2; Z) mit durch N teilbarem Eintrag
unten links. Wir erhalten so Bijektionen
GL(2; R)/Γ0(N) ∼ → Mod ×
R C/(Isotropiegruppe) ∼ → GittN(C)
und damit dann eine Identifikation zwischen unserer Menge von Isomorphieklassen
elliptischer Kurven mit Zusatzstruktur und dem Doppelquotienten
C × \ GL(2; R)/Γ0(N).
Proposition 5.3.10. Seien X und Y Riemann’sche Flächen. Ist Y kompakt
und E ⊂ X ohne Häufungspunkte, so läßt sich jeder Morphismus mit
endlichen Fasern X\E → Y zu einem Morphismus X → Y fortsetzen.
5.3.11. Ein Gegenbeispiel im Fall eines Morphismus mit unendlichen Fasern
liefert etwa die Quotientenabbildung C × → C × /〈q〉 für |q| = 1, wobei 〈q〉 ⊂
C × die von q erzeugte multiplikative Untergruppe meint.
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir X = D = {z ∈
C | |z| < 1} und E = {0} annehmen. Zunächst behandeln wir nun den
Fall Y = P 1 C. Es gilt zu zeigen, daß für D × = D\{0} jeder Morphismus
D × → P 1 C mit endlichen Fasern auf ganz D fortgesetzt werden kann. Das
hinwiederum folgt daraus, daß nach der Folgerung 2.1.14 aus dem Satz von
Casaroti-Weierstraß 2.1.12 jede holomorphe Funktion mit einer wesentlichen
Singularität auch unendliche Fasern haben muß. Im allgemeinen Fall finden
wir zunächst nach ?? einen Morphismus mit endlichen Fasern ϕ : Y → P 1 C.
Die Verknüpfung D × → Y → P 1 C hat dann auch endliche Fasern, und aus
dem bereits behandelten Fall erhalten wir ein kommutatives Diagramm
D ×
D
Y
ψ
ϕ
1 P C
1 P C
⎫
⎬
⎭