Analysis

6. STETIGKEIT IN MEHREREN VERÄNDERLICHEN 247
f −1 (W ) =
U∈U f −1 (W ) ∩ U offen in X als Vereinigung offener Mengen.
Mithin ist f stetig. Teil 2 zeigt man ähnlich: Nach 6.5.33 muß nur gezeigt
werden, daß für jede abgeschlossene Teilmenge B ⊂ V Y von Y ihr Urbild
f −1 (B) abgeschlossen ist in X. Da aber gilt f −1 (B) = f −1
1 (B) ∪ . . . ∪ f −1
n (B)
und f −1
i (B) ⊂ V Ai nach Annahme folgt die Proposition aus 6.5.29 und den
Definitionen.
Übung 6.5.36. Seien X ein topologischer Raum und Y, Z metrische Räume.
Man zeige, daß eine Abbildung (f, g) : X → Y × Z stetig ist genau dann,
wenn f und g stetig sind. Man zeige, daß Produkt und Summe von stetigen
reellwertigen Funktionen auf einem topologischen Raum wieder stetig sind.
Vorschau 6.5.37. In VI.3.6.1 werden wir erklären, wie man ganz allgemein das
Produkt topologischer Räume so mit einer Topologie versehen kann, daß das
Analogon der vorhergehenden Übung auch für beliebige topologische Räume
Y, Z gilt.
6.6 Grenzwerte in topologischen Räumen
Definition 6.6.1. Sei N → Y , n ↦→ yn eine Folge in einem topologischen
Raum Y und b ∈ Y ein Punkt. Wir sagen, die Folge yn strebt gegen b
oder konvergiert gegen b und nennen b einen Grenzwert der Folge und
schreiben
lim
n→∞ yn = b
genau dann, wenn jede Umgebung von b fast alle Glieder unserer Folge enthält.
Gleichbedeutend können wir ebensogut auch fordern, daß jede offene
Menge um b fast alle Glieder unserer Folge enthält.
6.6.2. In dieser Allgemeinheit ist der Grenzwertbegriff nur noch eingeschränkt
sinnvoll, da der Grenzwert einer Folge nicht mehr eindeutig zu sein braucht.
Fordern wir jedoch von unserem topologischen Raum die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft,
daß je zwei verschiedene Punkte darin disjunkte Umgebungen
besitzen, so ist der Grenzwert einer Folge eindeutig, wenn er existiert.
Ein topologischer Raum mit der Hausdorff-Eigenschaft heißt ein Hausdorff-
Raum.
Vorschau 6.6.3. Für allgemeine topologische Räume ist es nicht mehr richtig,
daß jede unter der Bildung von Grenzwerten von Folgen abgeschlossene
Teilmenge auch tatsächlich abgeschlossen ist. Ein Gegenbeispiel gebe ich in
VI.3.1.10, eine Zusatzbedingung, unter der das doch wieder gilt, in VI.3.1.11.