Analysis

2. ENDLICHDIMENSIONALE DARSTELLUNGEN 819
Hl irreduzibel ist. Die Dichtheit des Raums der Polynomfunktionen im Raum
aller stetigen Funktionen folgt mit Stone-Weierstrass III.3.2.9, die Dichtheit
von C(S 2 ) in L 2 (S2 ) mit V.1.5.1. Vereinbaren wir noch die Bezeichnungen
H0 = C0 und H1 = C1 , so bildet demnach die Summe aller Hl einen dichten
Teilraum
H l ⊂ L 2 (S 2 )
l∈N
Bezeichne nun prl : L 2 (S2 ) ↠ Hl die orthogonale Projektion. Sie ist sicher
ein Homomorphismus von Darstellungen. Ist L(m) eine irreduzible endlichdimensionale
Darstellung der Drehgruppe und ϕ : L(m) → L 2 (S2 ) ein Homomorphismus
von Darstellungen, so folgt prl ◦ϕ = 0 für m = 2l nach 2.4.3,
und gilt auch noch prl ◦ϕ = 0 für m = 2l, so folgt ϕ = 0. Mithin liefert
für alle l ∈ N das Verknüpfen mit prl eine Einbettung und dann sogar einen
Isomorphismus
Hom SO(3)
C
L(2l), L 2 (S 2 ) ∼→ Hom SO(3)
C
L(2l), H l
und damit folgt unser Satz aus dem Schur’schen Lemma 2.4.1.
2.5.7. Nach unseren Erkenntnissen über einfache Darstellungen der Drehgruppe
bilden in jedem Hl die unter allen Drehungen um die z-Achse S1 ⊂
SO(3) invarianten Funktionen einen eindimensionalen Teilraum (Hl ) S1.
Um
Erzeuger dieser Teilräume zu finden, gehen wir aus von der offensichtlichen
Einbettung
C[z] ↩→ C(S 2 ) S1
unter der sicher Polynome vom Grad ≤ d in H0 ⊕ . . . ⊕ Hl landen. Unser
Skalarprodukt auf L 2 (S2 ) schränkt nach IV.6.9.7 ein zu dem Skalarprodukt
auf C[z], das gegeben wird durch die Formel
1
〈g, f〉 = 2π ¯g(z)f(z) dz
−1
Mithin finden wir Erzeuger von (Hl ) S1,
wenn wir auf die durch Potenzen
von z gegebene angeordnete Basis z0 , z1 , z2 , . . . des Polynomrings C[z] in
Bezug auf besagtes Skalarprodukt das Gram-Schmidt’sche Orthogonalisierungsverfahren
anwenden. Die so entstehenden Polynome sind bis auf einen
konstanten Faktor die sogenannten Legendre-Polynome P0, P1, P2, . . . Der
Faktor wird hierbei üblicherweise so gewählt, daß gilt Pl(1) = 1. Mit dieser
Normalisierung können besagte Polynome dann auch durch die explizite
Formel
Pl(z) = 1
2l d
l!
l
dzl (z2 − 1) l