Analysis

4. ERSTE ANWENDUNGEN IN DER ZAHLENTHEORIE 1419
Beweis des Primzahlsatzes 4.1.1. Sicher haben wir stets
ϑ(x) =
log p ≤
log x = π(x) log(x)
p≤x
Für jedes ε > 0 haben wir aber auch
p≤x
ϑ(x) ≥
x1−ε 0, die genauer gegeben sein sollte durch das
unendliche Produkt c = 2
p (1 − (p − 1)−2 ). Bisher (2005) weiss man jedoch
noch nicht einmal, ob es überhaupt unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.
Quellen 4.1.21. Die Darstellung in diesem Abschnitt hält sich eng an Zagier’s
Artikel im American Mathematical Monthly [Zag97], wo man auch zusätzliche
Quellenangaben und interessante historische Anmerkungen finden kann.
Eine stärker auf allgemeinen Methoden der Funktionalanalysis basierende
Darstellung findet man zum Beispiel in Rudin’s Funktionalanalysis [Rud73]
als Anwendung anderer Tauber-Sätze. Ein guter Zugang zu modernen Entwicklungen
in der analytischen Zahlentheorie scheint mir [Kow04].
4.2 Primzahlen in Restklassen
Satz 4.2.1 (Primzahlen in Restklassen). Gegeben zwei teilerfremde natürliche
Zahlen gibt es stets unendlich viele Primzahlen, die bei Teilung durch
die Größere als Rest die Kleinere lassen.
= c