Analysis

4. UMKEHRSATZ UND ANWENDUNGEN 463
SkriptenBilder/BildLM.png
Dies Bild soll den Satz über Extrema mit Nebenbedingungen
veranschaulichen für den Fall einer Funktion h auf der Papierebene, hier
angedeutet durch einige gestrichelt engezeichnete Niveaulinien, die
maximiert werden soll unter einer Nebenbedingung f, hier angedeutet
durch die fett eingezeichnete Kurve M der Punkte, bei denen sie erfüllt ist.
Es scheint mir anschaulich recht offensichtlich, daß Extrema von h auf M
nur an Stellen p ∈ M zu erwarten sind, an denen der Gradient von h
senkrecht steht auf M, also ein Vielfaches des Gradienten von f ist. Im Bild
hätten wir etwa grob geschätzt (grad h)(p) = − 1(grad
f)(p). Allerdings ist
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es für reellwertige Funktionen auf der Papierebene streng genommen erst
nach der Wahl eines Maßstabs sinnvoll, von Gradienten zu reden, und in
allgemeineren Fällen erst nach Wahl eines Skalarprodukts auf dem
Richtungsraum, weshalb ich im Satz die koordinatenfreie Formulierung mit
Differentialen vorgezogen habe.