Analysis

1444 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
ein kommutatives Diagramm von punktierten topologischen Räumen
u
∈ (C, 0)
un ∈ (C, 0)
(Z, z)
p
1 (P C, p(z))
gibt mit offenen stetigen injektiven Horizontalen. Unter einem punktierten
Raum verstehen wir hierbei einen Raum mit einem ausgezeichneten Punkt,
und unter einem Morphismus von punktierten Räumen eine stetige Abbildung,
die den ausgezeichneten Punkt in den ausgezeichneten Punkt überführt.
Eine offene Abbildung von topologischen Räumen schließlich ist eine
Abbildung, unter der das Bild jeder offenen Menge wieder offen ist.
5.2.5. Man erkennt unschwer, daß gegeben eine endliche verzweigte Überlagerung
der Riemann’schen Zahlenkugel p : Z → P 1 C der Verzweigungsindex
an jeder Stelle z ∈ Z wohldefiniert ist, daß er nur für höchstens endlich viele
Punkte aus Z echt größer als Eins sein kann, und daß die Summe der Verzweigungsindizes
über alle Punkte einer gegebenen Faser der Projektion p nicht
von der Wahl der Faser abhängt. Diese Zahl heißt dann die Blätterzahl
unserer verzweigten Überlagerung.
5.2.6. Gegeben eine verzweigte Überlagerung p : Z → P 1 C betrachten wir im
Ring Topf(Z) der fast überall definierten stetigen komplexwertigen Funktionen
auf Z die Teilmenge
M(Z) := {α ∈ Topf(Z) | Es gibt P ∈ C(T )[X] mit P = 0 aber P (α) = 0}
Beim Auswerten unseres Polynoms P auf der fast überall definierten Funktion
α legen wir die Einbettungen
C(T ) ↩→ Topf(C) ∼ ← Topf(P 1 C) ↩→ Topf(Z)
zugrunde, wobei der mittlere Isomorphismus durch das Zurückholen mit der
üblichen Einbettung C ⊂ P 1 C gegeben wird und die letzte Einbettung durch
das Zurückholen mit unserer Projektion p.
Vorschau 5.2.7. In der Terminologie ?? hieße M(Z) der “ganze Abschluß von
C(T ) in Topf(Z)”. Dort wird auch gezeigt, daß solch ein ganzer Abschluß stets
ein Teilring ist.
Satz 5.2.8 (Körpererweiterungen und Topologie). 1. Gegeben eine
zusammenhängende endliche verzweigte Überlagerung p : Z → P 1 C der
Riemann’schen Zahlenkugel ist die Teilmenge M(Z) ⊂ Topf(Z) ein
Teilring und sogar ein Körper.