Analysis

5. UNAUSGEGORENES ZUR FUNKTIONENTHEORIE 1445
2. Ist q : Y → P 1 C eine weitere endliche verzweigte Überlagerung der Riemann’schen
Zahlenkugel und f : Y → Z ein “Morphismus von Überlagerungen”
alias eine stetige Abbildung mit p ◦ f = q, so induziert das
Zurückholen mit f einen Ringhomomorphismus M(Z) → M(Y ).
3. Der Funktor Z ↦→ M(Z) ist eine Äquivalenz von Kategorien
⎧
⎨
⎩
Endliche verzweigte
zusammenhängende
Überlagerungen von P 1 C
⎫
⎬
⎭
∼
→
⎧
⎨
⎩
Endliche
Köpererweiterungen
von C(T )
5.2.9. Wir zeigen diesen Satz hier nicht. Der Schlüssel zum Beweis ist die
Theorie der sogenannten “Riemann’schen Flächen”. Im Rahmen dieser Theorie
zeigt man feiner, daß es für jede endliche verzweigte Überlagerung Z →
P 1 C genau eine Struktur als Riemann’sche Fläche auf dem topologischen
Raum Z gibt derart, daß unsere Überlagerungsabbildung ein Morphismus
von Riemann’schen Flächen wird. Weiter zeigt man, daß unser M(Z) dann
genau der Ring der “meromorphen Funktionen” auf Z ist, und daß dieser
Ring im Fall von zusammenhängendem Z ein Körper ist.
Beispiel 5.2.10. Das Adjungieren einer n-ten Wurzel U aus T zu C(T ), also
die Körpererweiterung C(T ) ↩→ C(U) mit T ↦→ U n , entspricht der verzweigten
Überlagerung p : Z = P 1 C → P 1 C mit p(z) = z n für z ∈ C ⊂ P 1 C
und p(∞) = ∞. Das ist eine verzweigte n-blättrige Überlagerung, die nur
bei 0 und ∞ verzweigt und dort jeweils den Verzweigungsindex n hat. Die
Galoisgruppe ist in diesem Fall nach ?? isomorph zur zyklischen Gruppe
der n-ten komplexen Einheitswurzeln. Genauer erhalten wir einen derartigen
Isomorphismus, indem wir jeder n-te Einheitswurzel ζ den Automorphismus
C(U) ∼ → C(U), U ↦→ ζU zuordnen. Das sollte im Lichte unseres Satzes nun
auch anschaulich klar sein.
5.2.11. Ganz allgemein heißt eine stetige Abbildung p : Z → B von topologischen
Räumen eine Überlagerung oder genauer eine unverzweigte
Überlagerung genau dann, wenn jeder Punkt b ∈ B eine offene Umgebung
U besitzt derart, daß p−1 (U) eine disjunkte Zerlegung in offene Teilmengen
p−1 (U) =
i∈I Ui zuläßt, die von p jeweils homöomorph auf U abgebildet
werden, für die also p : Ui → U stets eine Bijektion mit stetiger Umkehrabbildung
ist. Ist q : Y → B eine weitere Überlagerung, so versteht man
unter einem “Morphismus von Überlagerungen” oder auch einer Decktransformation
eine stetige Abbildung f : Z → Y mit q ◦ f = p. Eine endliche
Überlagerung ist eine Überlagerung mit endlichen Fasern. Man kann nun
zeigen und es ist hoffentlich auch anschaulich einleuchtend, daß wir für jede
⎫
⎬
⎭
opp