Analysis

1210 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
Hier ist aber in der Tat die linke Seite unabhängig von t falls gilt
Ml2 Mc
=
α2 αlD2 alias α = l 3 D 2 /c. Wir sehen so, daß in der Tat unsere Ellipsen mögliche
Lösungskurven sein müssen.
Ergänzung 3.2.7. Daß die Lösungskurven Kegelschnitte sein müssen, kann
man unschwer einsehen, indem man nachrechnet, daß der sogenannte Runge-
Lenz-Vektor
1
c ˙ γ × L + γ
γ
eine Invariante der Bewegung sein muß. Dieser Zugang gefällt mir aber weniger,
da man den Runge-Lenz-Vektor dabei “vom Himmel fallen lassen muß”.
3.3 Systeme mit Zwangsbedingungen
Beispiel 3.3.1. Wir untersuchen nun zunächst das Verhalten eines Massepunktes,
dessen Bewegung auf eine Fläche im Raum eingeschränkt ist. Als
physikalisches Modell mag man sich ein nasses Seifenstück denken, das in
der Schwerelosigkeit und ohne Reibung im leeren Tank einer Raumfähre herumrutscht,
in den es ein übermütiger Astronaut mit Schwung hat hineingleiten
lassen. Wir modellieren diesen Tank als eine zweidimensionale glatte
Untermannigfaltigkeit ohne Rand M ⊂ E im Sinne von IV.7.7.12 des Anschauungsraums.
Zu jedem Zeitpunkt übt unsere Fläche eine Kraft auf unser
Teilchen aus, deren Richtung—das jedenfalls scheint mir eine physikalisch
sinnvolle Annahme—senkrecht zur Fläche steht und deren Größe gerade so
bemessen ist, daß sie das Teilchen auf der Fläche hält. Die Bewegung während
eines halboffenen Zeitintervalls I ⊂ T wird unter dieser Annahme beschrieben
durch eine zweimal differenzierbare Abbildung γ : I → M mit der
Eigenschaft
¨γ(t) ⊥ Tγ(t)M
für alle Zeiten t ∈ I. Formal betrachtet liegt ¨γ(t) zwar in E ⊗ 〈〈1/s 2 〉〉 und
unsere Tangentialräume aus IV.7.3.1 sind für alle Punkte p ∈ M vielmehr
Untervektorräume TpM ⊂ E, aber die Bedingung des Senkrechtstehens ist
dennoch sinnvoll. In mathematischer Terminologie ausgedrückt bewegt sich
unser Teilchen im Lichte von 3.10.2 demnach mit konstanter absoluter Geschwindigkeit
längs einer “Geodäte von M”. Bewegt sich unser Teilchen zusätzlich
in einem Kraftfeld F : E → E ⊗ 〈〈g/s 2 〉〉 und hat die Masse m, so
lauten die Bewegungsgleichungen analog
m¨γ(t) − F (γ(t)) ⊥ Tγ(t)M