Analysis

1154 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
nach II.6.5.29. Andererseits haben wir aber auch Z⊂ V f[0, 1]∩g[0, 1]⊂ V X, d.h.
Z ist auch abgeschlossen in X. Als zusammenhängende Teilmenge müsste Z
dann sogar eine Zusammenhangskomponente von X sein und insbesondere
f[0, 1] umfassen und damit doch die Menge der Bilder der Endpunkte treffen.
4. Sei X ein Hausdorffraum und seien f, g : [0, 1] → X stetige Injektionen mit
f(0, 1) und g(0, 1) offen in X. Haben wir zusätzlich weder f(0, 1) ⊂ g(0, 1)
noch g(0, 1) ⊂ f(0, 1), so ist jede Zusammenhangskomponente Z des Schnitts
f[0, 1] ∩ g[0, 1] von der Form Z = f[0, a] oder Z = f[a, 1] für ein a ∈ [0, 1]
mit f(a) ∈ {g(0), g(1)}. In der Tat reicht es nach dem Vorhergehenden, diese
Behauptung unter der Annahme f(0) ∈ Z zu zeigen. Aber dann folgt aus
1.4.5 schon Z = f[0, a] für ein a ∈ [0, 1], und nach Schritt 3 und unserer
Annahme kommt hier a = 1 nicht in Betracht. Wäre nun f(a) ∈ g(0, 1), so
gäbe es auch ein ɛ > 0 mit f[a, a + ɛ) ⊂ g(0, 1) im Widerspruch zur Wahl
von a. Also haben wir f(a) ∈ {g(0), g(1)}.
5. Ist X nun eine kompakte eindimensionale Mannigfaltigkeit, so finden wir
stetige Injektionen fi : [0, 1] → X (i = 1, . . . , n) derart, daß die Bilder
fi(0, 1) des offenen Intervalls (0, 1) offen sind und ganz X überdecken. Ohne
Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir auch annehmen, n sei minimal
möglich. Insbesondere gibt es dann natürlich keine Inklusionen der Gestalt
fi(0, 1) ⊂ fj(0, 1) mit i = j. Wir können (ohne n zu ändern) darüberhinaus
erreichen, daß die 2n Punkte fi(0), fi(1) für 1 ≤ i ≤ n paarweise verschieden
sind: Zum Beispiel gibt es ja ein j mit f1(0) ∈ fj(0, 1), dann folgt
f1 [0, ɛ) ⊂ fj(0, 1) für hinreichend kleines ɛ > 0, dann können wir f1 abändern
zu ˜ f1 mit ˜ f1(0) = f1(a) für beliebiges a ∈ [0, ɛ) , und diese Freiheit
ermöglicht es uns offensichtlich, endlich viele vorgegebene Punkte zu vermeiden.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir weiter annehmen, es
gelte f1(1) ∈ f2(0, 1). Sei Z ⊂ f1[0, 1] ∩ f2[0, 1] diejenige Zusammenhangskomponente
dieses Schnitts, die f1(1) enthält. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit
dürfen wir auch f2(0) ∈ Z annehmen, so daß also für geeignete
a, b ∈ (0, 1) gilt
Z = f1[a, 1] = f2[0, b]
Wäre Z die einzige Zusammenhangskomponente des Schnitts, so könnten wir
eine stetige Injektion f : [−a, 1] → X definieren durch die Vorschrift
f1(t + a) t ∈ [−a, 0];
t ↦→
f2(t) t ∈ [0, 1],
und f(−a, 1) = f1(0, 1) ∪ f2(0, 1) wäre offen in X. Damit geraten wir aber in
Widerspruch zur Annahme der Minimalität von n, also ist dieser Fall nicht
möglich und f1[0, 1]∩f2[0, 1] hat noch eine zweite Zusammenhangskomponente
Z ′ . Diese zweite Zusammenhangskomponente hat notwendig die Gestalt