Analysis

11. ALLGEMEINE STETIGE DARSTELLUNGEN 1077
Übung 11.2.24. Ist X ein lokal kompakter Hausdorff-Raum und F : R×X →
C partiell differenzierbar nach der ersten Variablen mit stetiger partieller
Ableitung ∂1F : R × X → C, so gilt für die Abbildung g : R → C(X),
t ↦→ F (t, ) im topologischen Vektorraum C(X) die Identität
g(t) − g(0)
lim
t→0 t
= (∂1F )(0, )
11.3 Beispiele für stetige Darstellungen
11.3.1. Wir verallgemeinern nun die Argumentation aus 11.2.19, um zum
Beispiel auch den Raum aller stetigen Vektorfelder auf einer glatten Mannigfaltigkeit
mit einer glatten Operation einer Lie-Gruppe als stetige Darstellung
erkennen zu können, und beginnen mit weiteren Notationen und Resultaten
aus der Topologie.
Definition 11.3.2. Sei k ein topologischer Körper und X ein topologischer
Raum.
1. Ein “topologisches Möchtegern-k-Bündel” E = (E, p) = (p : E → X)
auf X besteht aus einem topologischen Raum E, dem Totalraum,
einer stetigen Abbildung p : E → X, der Projektion, sowie einer
k-Vektorraumstruktur auf jeder Faser Ex = p −1 (x).
2. Ein Morphismus von einem topologischen Möchtegern-k-Bündel (E, p)
in ein weiteres (F, q) ist eine stetige Abbildung h : E → F mit qh = p
derart, daß für alle x ∈ X die auf den Fasern induzierte Abbildung
h : Ex → Fx eine k-lineare Abbildung ist.
3. Gegeben ein topologischer k-Vektorraum V heißt der Raum X × V mit
seiner offensichtlichen Struktur als topologisches Möchtegern-k-Bündel
das konstante topologische k-Bündel auf X mit Faser V .
4. Ein topologisches k-Bündel auf X ist ein Möchtegern-k-Bündel
(E, p), das im folgenden Sinne “lokal trivial” ist: Es gibt einen topologischen
k-Vektorraum V , so daß jeder Punkt x ∈ X eine Umgebung
U besitzt mit der Eigenschaft, daß das induzierte Möchtegern-k-Bündel
(p : p −1 (U) → U) auf U isomorph ist zum konstanten k-Bündel U × V
auf U mit Faser V . Wir reden in diesem Fall auch genauer von einem
topologischen k-Bündel auf X mit Faser V .
Ergänzung 11.3.3. Außerhalb der Darstellungstheorie versteht man meist unter
einem topologischen Vektorraumbündel ein Bündel im obigen Sinne mit
Faser k n .