Analysis

1352 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
Halten wir a > 0 fest und nehmen b = h und lassen
h nach Unendlich streben,
r
so ergibt sich die Existenz des Grenzwerts limr→∞ für a > 0. Die Existenz
a
des anderen Grenzwerts zeigt man analog. Indem wir −a = b = h nehmen
und das nach Unendlich streben lassen, ergibt sich
−ε
e
0 =
ix
e
dx +
x iz ∞
e
dz +
z ix
x dx
−∞
γε
Indem wir eiz /z = 1 +h(z) schreiben mit h holomorph, erkennen wir, daß das
z
Integral über den kleinen Halbkreis für ε → 0 gegen −πi strebt. Jetzt brauchen
wir nun noch den Imaginärteil unserer Gleichung zu nehmen. Nebenbei
bemerkt ist Lebesgue’schen Sinne gar nicht auf R integrierbar.
sin x
x
1.5 Beziehung zu Wegintegralen im Reellen*
1.5.1. Dieser Abschnitt ist für das Folgende entbehrlich. Er dient dem Zweck,
die Notation für komplexe Wegintegrale verständlich zu machen und den
Zusammenhang des Satzes von Cauchy mit den Sätzen über Wegintegrale
in wirbelfreien Vektorfeldern IV.3.6.1 zu erklären. Zunächst erinnere ich an
IV.3.3.16.
Definition 1.5.2. Seien X ein endlichdimensionaler reeller Raum, W ein
endlichdimensionaler reeller Vektorraum und A ⊂ X eine halboffene Teilmenge.
Eine W -wertige 1-Form auf A ist eine Abbildung
ω : A → HomR( X, W )
Sie ordnet also jedem Punkt p ∈ A eine lineare Abbildung des Richtungsraums
in den Raum W zu. Um hier noch Richtungsvektoren v ∈ X einsetzen
zu können, notieren wir auch vektorwertige 1-Formen p ↦→ ωp, so daß
dann ωp(v) ein Vektor aus W wird. In offensichtlicher Weise erklären wir das
Produkt einer W -wertigen 1-Form mit einer reellwertigen Funktion. Ist W
ein komplexer Vektorraum, so definieren wir analog das Produkt einer W -
wertigen 1-Form ω mit einer komplexwertigen Funktion f, indem wir eben
setzen (fω)p(v) = f(p)ωp(v), zu verstehen als das Produkt der komplexen
Zahl f(p) mit dem Vektor ωp(v) aus dem komplexen Vektorraum W .
Beispiele 1.5.3. Ist Y ein weiterer endlichdimensionaler reeller Raum und f :
A → Y differenzierbar, so ist df oder genauer p ↦→ dpf eine Y -wertige 1-Form
auf A. Zum Beispiel bezeichnet üblicherweise z : C → C die Identität und dz
ihr Differential, eine komplexwertige 1-Form auf C. Mit f(z) dz bezeichnet
man dann das Produkt dieser 1-Form mit der komplexwertigen Funktion
z ↦→ f(z). Eine R n -wertige 1-Form hinwiederum ist im wesentlichen schlicht
ein n-Tupel von R-wertigen 1-Formen.
ε