Analysis

920 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Lemma 5.3.9. Verwandte Differentialformen haben verwandte äußere Ableitungen.
Ist genauer und in Formeln φ : X → Y eine glatte Abbildung von
Mannigfaltigkeiten und ω eine glatte Differentialform auf Y, so gilt
d(φ ∗ ω) = φ ∗ (dω)
Beweis. Diese drei Lemmata folgen unmittelbar aus der Definition der äußeren
Ableitung in 5.3.5 und ihren bereits bewiesenen Analoga IV.7.6.6, IV.7.6.7
und IV.7.6.8 für den Fall offener Teilmengen endlichdimensionaler reeller
Räume.
5.3.10. Die Existenz einer äußeren Ableitung mit den in den drei vorhergehenden
Lemmata formulierten bemerkenswerten Eigenschaften ist eine Besonderheit
der Differentialformen, die für allgemeinere Felder keine Entsprechung
hat. Der Kalkül der Differentialformen wird sich insbesondere auch
aufgrund dieser bemerkenswerten Eigenschaften als außerordentlich bequem
und nützlich erweisen.
5.4 Integration auf abstrakten Mannigfaltigkeiten
5.4.1. Gegeben eine Mannigfaltigkeit X hatten wir in 5.2.1 eine Dichte auf
X erklärt als einen Schnitt des Dichtebündels |ΛmaxT ∗ X|. Wir nennen eine
solche Dichte nichtnegativ genau dann, wenn ihr Wert an keiner Stelle
x ∈ X eine negativ orientierte Basis von |ΛmaxT ∗
xX| ist. Zum Beispiel ist für
jede Volumenform ω auf X ihr Betrag |ω| eine nichtnegative Dichte auf X.
Insbesondere kann jede Dichte µ auf W ⊂◦ Rn in eindeutiger Weise geschrieben
werden als
µ = a(x)|dx1 ∧ . . . ∧ dxn|
mit a : W → R, und eine derartige Dichte auf W ⊂◦ R n ist nichtnegativ genau
dann, wenn gilt a(x) ≥ 0 ∀x ∈ W .
Definition 5.4.2. Gegeben auf W ⊂◦ Rn eine meßbare nichtnegative Dichte
µ = a(x)|dx1 ∧ . . . ∧ dxn| und eine meßbare Teilmenge B ⊂ W erklären
wir das Integral unserer Dichte über besagte Teilmenge in [0, ∞] durch die
Vorschrift
µ := a(x) d n x
B
B
Satz 5.4.3 (Maß einer nichtnegativen Dichte). Gegeben eine separable
Mannigfaltigkeit X und darauf eine nichtnegative meßbare Dichte µ existiert
genau ein topologisches Maß ˜µ auf X mit der Eigenschaft, daß das Maß jeder