Analysis

1290 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
Bemerkung 4.5.10. Daß die Bedingung, die Funktion möge außerhalb einer
σ-endlichen Menge verschwinden, hier auch wirklich nötig ist, zeigt IV.6.6.10.
Beweis. Das folgt unter unseren Annamen sofort aus IV.6.6.8.
Satz 4.5.11 (Fubini). Seien (X, µ) und (Y, ν) Maßräume. Gegeben eine
integrierbare Funktion f : X × Y → R ist für fast alle y ∈ Y die Funktion
x ↦→ f(x, y) integrierbar und die fast überall definierte Funktion y ↦→
f(x, y)µ〈x〉 ist auch integrierbar und für ihr Integral gilt
X
Y
X
f(x, y) µ〈x〉 ν〈y〉 = f(x, y) (µ ⊗ ν)〈x, y〉
X×Y
Beweis. Man kann den Beweis von IV.6.6.18 übernehmen, wenn man mit
4.5.9 arbeitet und beachtet, daß eine meßbare und integrierbare Funktion
nach 4.5.4 notwendig außerhalb einer σ-endlichen Menge verschwindet.
4.6 Konvergenzbegriffe für Zufallsvariablen
Definition 4.6.1. Seien (X, M, µ) ein Maßraum, (fn)n∈N eine Folge meßbarer
reeller Funktionen auf X und f eine meßbare reelle Funktion auf X.
1. Man sagt, die Folge der fn konvergiere stochastisch gegen f genau
dann, wenn für alle ε > 0 gilt limn→∞ µ(|fn − f| > ε) = 0.
2. Man sagt, die Folge der fn konvergiere fast überall gegen f genau
dann, wenn gilt fn(x) → f(x) für fast alle x ∈ X. Im Fall eines Wahrscheinlichkeitsraums
nennt man das auch fast sichere Konvergenz.
3. Man sagt, die Folge der fn konvergiere im Mittel gegen f genau
dann, wenn alle Differenzen fn − f integrierbar sind und es gilt |fn −
f| → 0.
4.6.2. Die Beziehung zwischen diesen Begriffen faßt folgendes Diagramm zusammen:
im Mittel ⇒ stochastisch ⇐ fast überall
Hier sei ⇒ eine Übung, und um ⇐ zu zeigen betrachten wir für ε > 0 die
Mengen Xn(ε) = {x ∈ X | |fm(x) − f(x)| ≤ ε für alle m ≥ n} und folgern
aus Konvergenz fast überall, daß das Komplement von Xn(ε) in X eine
Nullmenge ist. Andere Implikationen zwischen unseren Begriffen existieren
nicht. Um das zu zeigen müssen wir nur Beispiele angeben, in denen eine
der äußeren Eigenschaften erfüllt ist aber nicht die andere. Ein Beispiel für
eine im Mittel aber nicht fast überall konvergierende Folge gibt V.1.3.10. Ein