Analysis

844 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
3.8.6. Gegeben eine topologische Gruppe G und eine Untergruppe H ⊂ G ist
die Operation von G auf G/H stetig. In der Tat betrachte man das Diagramm
G × G → G
↓ ↓
G × G/H → G/H
und beachte, daß die linke Vertikale nach 3.8.2 auch final ist. Ist allgemeiner
f : X ↠ Y eine stetige offene Surjektion von topologischen Räumen,
die äquivariant ist für Operationen einer Gruppe G auf beiden Räumen, in
Formeln f(gx) = gf(x), und ist G mit einer Topologie versehen, für die die
Operation auf X stetig ist, so ist auch die Operation auf Y stetig.
Übung 3.8.7. Gegeben ein homogener Raum X einer topologischen Gruppe
G gibt es genau eine Topologie auf X derart, daß für jeden Punkt x ∈ X
das Anwenden G → X, g ↦→ gx eine finale Abbildung ist. Wir nennen sie die
Topologie als homogener Raum auf X.
Übung 3.8.8. Gegeben eine topologische Gruppe G und eine normale Untergruppe
H ⊂ G ist der Quotient G/H mit seiner Quotiententopologie und
der induzierten Verknüpfung eine topologische Gruppe. Der Quotient G/G ◦
einer Gruppe nach ihrer Einszusammenhangskomponente heißt die Komponentengruppe
von G. Ist G ◦ offen in G, so ist besagte Komponentengruppe
diskret.
Ergänzung 3.8.9. Gegeben eine Umgebung U ⊂ G des neutralen Elements
einer topologischen Gruppe gibt es stets eine weitere Umgebung V ⊂ G des
neutralen Elements mit V 2 ⊂ U alias xy ∈ U ∀x, y ∈ V . In der Tat gibt es
eine Umgebung von (1, 1) in G × G, die unter der Verknüpfung in U landet,
und jede solche Umgebung umfaßt eine Umgebung der Gestalt A × B für
Umgebungen A, B von 1 ∈ G. Der Schnitt A ∩ B ist dann die gesuchte
Umgebung V des neutralen Elements.
Lemma 3.8.10. Eine Untergruppe einer topologischen Gruppe ist abgeschlossen
genau dann, wenn der Quotient nach unserer Untergruppe Hausdorff ist.
Beweis. Seien G ⊃ H unsere Gruppen. Ist der Quotient G/H Hausdorff, so
sind seine Punkte abgeschlossen, und damit ist auch H abgeschlossen in G
als Urbild einer abgeschlossenen Teilmenge von G/H. Für die Umkehrung
gilt es zu zeigen, daß die Diagonale ∆G/H in G/H × G/H abgeschlossen ist.
Die Abbildung G × G → G/H × G/H ist aber nach 3.8.2 als Komposition
finaler Abbildungen oder alternativ als Produkt offener stetiger Surjektionen
auch selbst final. Es reicht also zu zeigen, daß das Urbild der Diagonale ∆G/H
in G × G abgeschlossen ist. Dies Urbild kann aber auch beschrieben werden
als das Urbild von H unter der Abbildung G × G → G, (x, y) ↦→ xy −1 .