Analysis

702 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Formeln liest sich das wie folgt. Gegeben ein Maß µ ∈ M(V ) mit Fouriertransformierter
µ ∧ , in Formeln
µ F
↦→ µ ∧
liefert die Natürlichkeit 2.7.11 der Fouriertransformation
p∗µ F
↦→ µ ∧ ◦ ˆp
Ist λ ein Haarmaß auf V/Γ und ˆ λ das zugehörige Plancherelmaß auf Γ ∧ , so
folgt unter der Annahme µ ∧ ◦ ˆp ∈ L 1 (Γ ∧ ; ˆ λ) aus der Inversionsformel 2.7.17,
daß es h ∈ L 1 (V/Γ; λ) gibt mit hλ = p∗µ, und daß für dieses h gilt
h F ← (µ ∧ ◦ ˆp) ˆ λ
Mit erneutem Anwenden der Natürlichkeit 2.7.11 erhalten wir daraus
h ◦ i
F
← î∗((µ ∧ ◦ ˆp) ˆ λ)
Ist hier Γ ∧ diskret und ˆ λ das Zählmaß, so besagt die letzte Zeile schlicht
h(0) =
µ ∧ (ζ)
ζ∈Γ ∧
Sind nun V, Γ, λ und f wie im Satz und betrachten wir µ = fλ, so gilt
p∗µ = p∗(fν) = hλ mit h(x) :=
p(v)=x f(v). Bis hierher kann man noch
f ∈ L 1 (V ; λ) beliebig nehmen, die Integrierbarkeit von h folgt mit Fubini aus
dem Isomorphismus von Maßräumen Γ × A ∼ → V für eine “Grundmasche” A
des Gitters Γ. Ist nun f ∈ L1 eine überall definierte integrierbare Funktion
derart, daß die Summe
p(v)=x f(v) überall konvergiert und eine bei Null
stetige Funktion h liefert, so haben wir sogar
h(0) =
f(γ)
γ∈Γ
Die Poisson’sche Summationsformel folgt.
Ergänzung 2.7.22. Nach Rieffel kann man den sogenannten oszillatorischen
Integralen
F (x, y) e 2πix·y dx dy