Analysis

944 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Kugelschalen oder genauer deren Urbilder K g n ⊂ Lie G jeweils auf einen einzigen
Punkt der diskreten Untergruppe ker ϕ abgebildet werden, und die
Vereinigung dieser Bilder ist auch ganz ker ϕ. Insbesondere geht die Kugel-
schale K g
1 mit Radius Eins auf einen einzigen Punkt z ∈ G. Durch diesen
Punkt z laufen notwendig alle nichtkonstanten Einparameteruntergruppen
γ von G, ja es gibt für jedes derartige nichtkonstante γ sogar ein t mit
γ(t) = z = γ(−t), und das zeigt sofort z 2 = e. Induktiv folgt exp(K g n) = z n .
Die einzig möglichen Fälle sind also | ker ϕ| = 1 und | ker ϕ| = 2. Im ersten
Fall ist ϕ ein Isomorphismus. In jedem Fall mag man einen surjektiven
stetigen Gruppenhomomorphismus φ : SU(2) ↠ SO(3) wählen und die Liegruppe
H = {(g, s) ∈ G × SU(2) | ϕ(g) = φ(s)} betrachten mitsamt dem
offensichtlichen stetigen Gruppenhomomorphismus H → SO(3). Die Einszusammenhangskomponente
H ◦ von H paßt in ein kommutatives Diagramm
von Liegruppen der Gestalt
H◦
G
SU(2)
SO(3)
Auf den Liealgebren induzieren alle Morphismen dieses Diagramms Isomorphismen,
folglich sind alle Morphismen dieses Diagramms surjektiv. Da aber
der Kern der Vertikale H ◦ → SO(3) nach unseren bisherigen Erkenntnissen,
nun angewandt auf H ◦ statt auf G, auch höchstens zwei Elemente haben
kann, müssen im zweiten Fall die oberen schrägen Pfeile beide Isomorphismen
sein. Wir folgern G ∼ = H ◦ ∼ = SU(2).
Zweiter Beweis. Dieser Beweis setzt Kenntnisse in Überlagerungstheorie voraus.
Da die Sphäre SU(2) ∼ = S 3 wegweise einfach zusammenhängend ist nach
??, und da G ↠ SO(3) sicher eine Überlagerung ist, existiert nach ?? ein
Lift von s : SU(2) → SO(3) zu einer stetigen Abbildung ˜s : SU(2) → G
mit 1 ↦→ 1. Wir zeigen, daß dieser Lift ein Gruppenhomomorphismus ist.
In der Tat sind aber sowohl m ◦ (˜s × ˜s) als auch ˜s ◦ m Lifts der Abbildung
s ◦ m : SU(2) × SU(2) → SO(3) mit (1, 1) ↦→ 1 und stimmen folglich
überein. Da der Kern eines und jedes surjektiven Gruppenhomomorphismus
SU(2) → SO(3) aus zwei Elementen besteht, muß in der Sequenz
SU(2) ↠ G ↠ SO(3) einer der beiden Pfeile ein Isomorphismus sein.
Dritter Beweis. Dieser Beweis setzt zusätzliche Kenntnisse über Darstellungstheorie
voraus, genauer die Tatsache, daß nach 10.9.7 außer dem Neutralen