Analysis

3. WEGINTEGRALE 421
3.5.8. In ?? werden wir auch “einfach zusammenhängende” topologische Räume
kennenlernen, die in etwas anderer Weise definiert werden. Für halboffene
Teilmengen normierter Räume wird sich dieser Begriff jedoch als gleichbedeutend
zu “wegweise einfach zusammenhängend” erweisen.
Übung 3.5.9. Ein Raum ist wegweise einfach zusammenhängend genau dann,
wenn er wegzusammenhängend ist und je zwei Wege mit demselben Anfangsund
demselben Endpunkt darin homotop sind.
Ergänzung 3.5.10. Ist U ⊂◦ R n offen und wegweise einfach zusammenhängend
und ist A ⊂ R n ein affiner Teilraum einer Kodimension ≥ 3, so ist auch U\A
wegweise einfach zusammenhängend. Für einen Beweis dieses Analogons zu
3.4.10 verweise ich auf die Topologie, siehe etwa ??.
Ergänzende Übung 3.5.11. Jeder Weg in einer offenen Teilmenge eines normierten
reellen Vektorraums ist dort homotop zu einem stückweise linearen
Weg. Hinweis: 3.4.5.
3.6 Rotation und Potential
Proposition 3.6.1 (Wegintegrale und Potential). Seien X ein endlichdimensionaler
reeller Raum, A ⊂◦ X eine offene Teilmenge und ω ein stetiges
Kovektorfeld auf A. So sind gleichbedeutend:
1. Unser Kovektorfeld ist das Differential einer differenzierbaren Funktion.
2. Das Integral unseres Kovektorfelds über beliebige stetig differenzierbare
Wege in A hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt ab.
3. Das Integral unseres Kovektorfelds über jeden geschlossenen stetig differenzierbaren
Weg in A verschwindet.
3.6.2. In physikalischer Terminologie 3.3.17 hat also ein Kraftfeld oder genauer
das zugehörige energiewertige Kovektorfeld ein Potential genau dann,
wenn die längs beliebiger Wege geleistete Arbeit nur vom Anfangs- und Endpunkt
abhängt.
Beweis. Es ist im folgenden bequem, für etwas allgemeinere Wege den Begriff
des Wegintegrals zur Verfügung zu haben.
Definition 3.6.3. Sei X ein endlichdimensionaler reeller Raum. Ein Weg γ :
[a, b] → X heißt stückweise stetig differenzierbar genau dann, wenn es
eine Zerlegung a = a0 < a1 < . . . < ar = b unseres Intervalls gibt derart, daß
die Restriktionen γ|[ai−1,ai] stetig differenzierbar sind für alle i. Wir bezeichnen
stückweise stetig differenzierbare Wege abkürzend als Integrationswege.