Analysis

572 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
7.1.9. Mit 7.1.6 folgt unmittelbar die Assoziativität des Dachprodukts
(ω ∧ η) ∧ ξ = ω ∧ (η ∧ ξ)
Damit brauchen wir auch bei längeren Dachprodukten keine Klammern zu
setzen und unsere Notation “alt” wird schon wieder obsolet, denn offensichtlich
folgt aus der Proposition auch
alt(f1, . . . , fp) = f1 ∧ . . . ∧ fp
Ergänzung 7.1.10. Ein natürlichere Konstruktion des Dachprodukts besprechen
wir im Rahmen der multilinearen Algebra in ??. Sie mögen zur Übung
zeigen, daß unter unserem Isomorphismus 7.1.4 das Dachprodukt aus ?? genau
unserem Dachprodukt aus 7.1.8 entspricht, vergleiche auch ??. In der
Tat reicht es angesichts der Assoziativität beider Dachprodukte, diese Behauptung
im Fall des Dachprodukts zweier Linearformen zu prüfen, und in
diesem Fall ist sie schnell nachgerechnet.
Ergänzung 7.1.11. Die Formel aus dem anschließenden Beweis definiert auch
für alternierende Formen auf einem nicht notwendig endlichdimensionalen
Raum ein assoziatives Produkt ∧. Der Beweis bleibe dem Leser überlassen
ebenso wie der Nachweis der graduierten Kommutativität 7.1.12 in dieser
Allgemeinheit. Für unsere Belange reicht der endlichdimensionale Fall aus.
Beweis. Die Eindeutigkeit folgt sofort aus 7.1.6 und nur die Existenz ist noch
zu zeigen. Wir betrachten dazu die Menge Sp,q ⊂ Sp+q aller Permutationen,
die die Reihenfolge der ersten p Einträge und die der letzten q Einträge unverändert
lassen. Stellen wir uns unsere Permutationen als Mischvorschriften
für ein Spiel von p+q Karten vor, so heben wir also p Karten ab und schieben
die beiden so gebildeten Stapel von p bzw. q Karten irgendwie ineinander.
Solche Permutationen heißen auch (p, q)-Shuffles, in Formeln haben wir
Sp,q = {σ ∈ Sp+q | σ(1) < . . . < σ(p) und σ(p + 1) < . . . < σ(p + q)}
Weiter betrachten wir in Sp+q die Untergruppe Sp × Sq aller Permutationen,
die die ersten p Einträge unter sich vertauschen und die letzten q Einträge
ebenso. Die Verknüpfung von Permutationen liefert dann offensichtlich eine
Bijektion
Sp,q × (Sp × Sq) ∼ → Sp+q
Jetzt definieren wir für ω und η wie oben eine Multilinearform ω ∧ η durch
die Vorschrift
(ω ∧ η)(v1, . . . , vp+q) =
sgn(σ) ω(vσ(1), . . . , vσ(p)) η(vσ(p+1), . . . , vσ(p+q))
σ∈Sp,q