Analysis

5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 501
M eine endliche Überdeckung durch offene Teilmengen von U, auf denen
unser Vektorfeld jeweils lipschitzstetig ist. Mit II.6.7.16 finden wir auch ein
ε > 0 derart, daß die Menge N aller Punkte von X mit Abstand ≤ ε zu
einem Punkt von M in der Vereinigung der Mengen dieser endlichen Überdeckung
enthalten ist. Da unser Vektorfeld auch auf N lipschitzstetig ist,
hat unsere Integralkurve dann an allen Stellen aus N, die sie durchläuft, eine
gleichmäßig beschränkte Geschwindigkeit. Wann immer unsere maximale
Integralkurve einen Punkt aus M durchläuft, muß sie also noch für eine gewisse
von diesem Punkt unabhängige Zeitspanne innerhalb von N weiterlaufen.
Sind wir näher als diese Zeitspanne am oberen Ende des Definitionsbereichs
unserer maximalen Integralkurve, so kann unsere Integralkurve demnach keine
Punkte aus M mehr durchlaufen, da sie ja wegen 5.2.7 nicht ab einem
vorgegebenen Zeitpunkt in N bleiben darf, und es sonst nicht mehr schaffen
könnte, N noch zu verlassen.
5.3 Lineare Differentialgleichungen
Satz 5.3.1 (Homogene lineare Differentialgleichungen). Gegeben ein
halboffenes Intervall I ⊂ R, ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum
V und eine stetige Abbildung M : I → End V bilden die differenzierbaren
Abbildungen γ : I → V mit
γ ′ (t) = M(t)γ(t) ∀t ∈ I
einen Untervektorraum L ⊂ Ens(I, V ), den Lösungsraum unserer Differentialgleichung.
Weiter ist für jedes t0 ∈ I das Auswerten bei t0 ein Isomorphismus
L ∼ → V, γ ↦→ γ(t0), der Anfangswertisomorphismus.
Ergänzung 5.3.2. Der Satz gilt mit fast demselben Beweis auch im Fall eines
beliebigen Banachraums V, wenn man statt dem Raum End V aller Endomorphismen
von V den normierten Raum B(V ) aller stetigen Endomorphismen
von V betrachtet. Wir müssen dann nur am Schluß etwas sorgfältiger argumentieren,
etwa in dem Sinne, daß eine auf [0, b) definierte Integralkurve
nach den Abschätzungen im Beweis gleichmäßig stetig wäre und sich nach
II.7.5.5 stetig auf [0, b] fortsetzen ließe. Das Bild dieser stetigen Fortsetzung
ist dann das gesuchte Kompaktum, das nicht verlassen wird, im Widerspruch
zu 5.2.8.
Beweis. Daß unser Lösungsraum L ⊂ Ens(I, V ) ein Untervektorraum ist und
das Auswerten bei t0 linear, scheint mir beides offensichtlich. Es bleibt nur,
Injektivität und Surjektivität des Auswertens zu zeigen. Ohne Beschränkung
der Allgemeinheit dürfen wir dazu t0 = 0 annehmen. Falls I nicht offen ist,