Analysis

682 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
des Raums der nichtnegativen endlichen Borelmaße in den Raum der beschränkten
stetigen Funktionen auf der Charaktergruppe als die Menge aller
beschränkten stetigen Funktionen φ : ˆ V → C, die “positiv semidefinit”
sind in dem Sinne, daß für beliebiges n und beliebige paarweise verschiedene
χ1, . . . , χn ∈ ˆ V die quadratische Matrix mit Einträgen φ(χi − χj) positiv semidefinit
ist. Daß unsere Abbildung in den positiv semidefiniten Funktionen
landet, mag der Leser zur Übung selbst prüfen. Daß auch alle beschränkten
positiv semidefiniten Funktionen im Bild liegen, ist nicht so leicht zu sehen.
Ergänzung 2.3.23. Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum V definieren
wir einen Hilbertraum
L 2 (V )
wie folgt: Wir betrachten auf der Menge aller Paare (λ, f) mit λ einem von
Null verschiedenen translationsinvarianten Borelmaß und f ∈ L 2 (V ; λ) die
Äquivalenzrelation (λ, f) ∼ (c 2 λ, c −1 f) für c > 0 und definieren L 2 (V ) als
die Menge der Äquivalenzklassen. Die Äquivalenzklasse von (λ, f) notieren
wir
f √ λ
und bemerken, daß es auf dem Raum dieser Äquivalenzklassen genau eine
Struktur als Hilbertraum gibt derart, daß für ein und jedes translationsinvariante
Borelmaß λ die Abbildung L 2 (V ; λ) → L 2 (V ), f ↦→ f √ λ ein unitärer
Isomorphismus von Hilberträumen ist. In VI.12.4.4 erkläre ich allgemeiner,
wie man jeder Mannigfaltigkeit X in vollständig kanonischer Weise den
Hilbertraum L 2 (X) der “quadratintegrierbaren Halbdichten auf X” zuordnen
kann. Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum V mit Charaktergruppe
ˆ V liefert die Fouriertransformation auf den quadratintegrierbaren
Halbdichten einen vollständig kanonischen Hilbertraumisomorphismus
L 2 (V ) ∼ → L 2 ( ˆ V )
zwischen den quadratintegrierbaren Halbdichten auf V und auf ˆ V , und dessen
Inverses ist die Verknüpfung
L 2 ( ˆ V ) ∼ → L 2 ( ˆ V ) ∼ → L 2 (V )
der entsprechenden Fouriertransformation zu ˆ V mit dem von unserem kanonischen
Isomorphismus aus ?? unseres Raums mit dem Charakterraum seines
Charakterraums induzierten Hilbertraumisomorphismus. Um das zu sehen,
wählen wir ein Haarmaß λ auf V mit Plancherelmaß ˆ λ auf ˆ V und betrachten
die Komposition
L 2 (V ) ·(√λ) −1
−→ L 2 (V ; λ) → L 2 ( ˆ V ; ˆ λ) ·
√
ˆλ
−→ L 2 ( ˆ V )