Analysis

290 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Übung 7.5.28. Sind A, B stetige Endomorphismen von Banachräumen V, W
und ist P : W → V stetig linear mit AP = P B, so gilt (exp A)P = P (exp B).
Ist insbesondere P invertierbar, so gilt exp(P AP −1 ) = P (exp A)P −1 .
Übung 7.5.29. Gegeben eine Menge D und ein vollständiger metrischer Raum
Y ist auch der Raum Ens b (D, Y ) aller beschränkten Abbildungen von D nach
Y vollständig für die Metrik der gleichmäßigen Konvergenz 6.3.5.
Übung 7.5.30. Gegeben ein topologischer Raum D und ein vollständiger metrischer
Raum Y ist auch der Raum Cb(D, Y ) aller stetigen beschränkten
Abbildungen von D nach Y vollständig für die Metrik der gleichmäßigen
Konvergenz 6.3.5. Hinweis: Man verwende 6.6.4.
Übung 7.5.31. Gegeben ein halboffenes kompaktes Intervall I ⊂ R und ein
endlichdimensionaler reeller Vektorraum V ist auch der Raum C 1 (I, V ) aller
einmal stetig differenzierbaren Abbildungen von I nach V vollständig für die
Norm γ∞ + γ ′ ∞ der gleichmäßigen Konvergenz der Funktion und ihrer
ersten Ableitung. Hinweis: Man verallgemeinere 6.6.4 und verwende 5.1.14.
Ergänzende Übung 7.5.32. Es gibt eine stetige Surjektion vom Einheitsintervall
[0, 1] auf das Einheitsquadrat [0, 1] 2 . Um diese auf den ersten
Blick verblüffende Tatsache einzusehen, unterteile man das Einheitsintervall
in neun gleiche Abschnitte und das Einheitsquadrat in vier gleiche Quadrate
und wähle irgendeinen Weg [0, 1] → [0, 1] 2 , der den 2i-ten Abschnitt in
das i-te Quadrat abbildet, für irgendeine Nummerierung der vier Quadrate.
Dann unterteile man die 2i-ten Abschnitte von eben jeweils in neun gleiche
Unterabschnitte und die vier Quadrate von eben jeweils in vier gleiche Unterquadrate
und ändere den Weg von eben auf den 2i-ten Abschnitten von
eben so ab, daß sie immer noch im i-ten Quadrat landen und zusätzlich die
2j-ten Unterabschnitte des 2i-ten Abschnitts im j-ten Unterquadrat des i-ten
Quadrats landen, für irgendeine Nummerierung dieser Unterquadrate. Indem
man immer so weitermacht, erhält man eine gleichmäßig konvergente Folge
von Abbildungen. Der Grenzwert dieser Folge ist die gesuchte Surjektion.
7.6 Eigenschaften von Sinus und Cosinus
7.6.1. Aus der Definition 7.4.3 und der nachfolgenden Diskussion wissen wir
bereits, daß sin und cos differenzierbare Funktionen von R nach R sind mit
sin ′ = cos, cos ′ = − sin, sin(0) = 0 und cos(0) = 1. Wir wissen weiter, daß gilt
sin 2 + cos 2 = 1, wo wir (sin t) 2 = sin 2 t und (cos t) 2 = cos 2 t abgekürzt haben.
Diese Abkürzungen sind auch üblich für alle anderen trigonometrischen bzw.
hyperbolischen trigonometrischen Funktionen, denn das spart Klammern und
die alternativ möglichen Bedeutungen sin 2 t = sin(sin t) etc. kommen nie vor.