Analysis

722 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Da unser Raum H nicht Null ist, finden wir in H eine Folge von Einheitsvektoren
vn mit limn→∞ T 2 vn = T 2 . Wegen T 2 vn ≤ T T vn ≤
T 2 = T 2 folgt limn→∞ T vn = T zumindest falls T = 0, und im
Fall T = 0 ist das eh klar. Wir setzen nun c = T und behaupten, daß c 2
zum Spektrum von T 2 gehört. In der Tat gilt ja
(T 2 − c 2 )vn 2 = 〈vn, (T 4 − 2c 2 T 2 + c 4 )vn〉 = T 2 vn 2 − 2c 2 T vn 2 + c 4
und das strebt für n → ∞ offensichtlich gegen Null. Damit haben wir per
definitionem c 2 ∈ σ(T 2 ) und es folgt T 2 ≤ ρ(T 2 ) und, da wir die andere
Abschätzung nach 3.3.16 bereits kennen, T 2 = ρ(T 2 ). Der spektrale Abbildungssatz
3.3.17 zeigt jedoch ρ(T 2 ) = ρ(T ) 2 und wegen T 2 = T 2 folgt
die Behauptung.
Proposition 3.4.3 (Spektren selbstadjungierter Operatoren). Jeder
selbstadjungierte Operator T auf einem Hilbertraum H hat ein rein reelles
Spektrum, in Formeln σ(T ) ⊂ R.
Beweis. Ist T selbstadjungiert, so gilt 〈v, T v〉 = 〈T v, v〉 = 〈v, T v〉 für alle
v ∈ H, mithin ist 〈v, T v〉 stets reell. Für λ ∈ C erhalten wir so wegen der
offensichtlichen Abschätzung | Im z| ≤ |z| ∀z ∈ C von der Mitte ausgehend
die Ungleichungen
| Im λ| v 2 ≤ |〈(T − λ)v, v〉| ≤ (T − λ)v v
und damit | Im λ| v ≤ (T − λ)v. Unter der Annahme λ ∈ R ist demnach
die Abbildung (T − λ) injektiv und nach 3.4.7 hat sie sogar abgeschlossenes
Bild und ihre auf diesem Bild definierte Umkehrabbildung ist stetig. Andererseits
ist mit demselben Argument auch (T −λ) ∗ = (T − ¯ λ) injektiv und damit
hat (T −λ) nach 1.7.9 dichtes Bild. Zusammen folgt, daß (T −λ) invertierbar
sein muß, so daß λ nicht zum Spektrum von T gehören kann.
Übung 3.4.4. Eine stetige Abbildung von einem vollständigen metrischen
Raum in einen weiteren metrischen Raum, die keinen Abstand verkleinert,
ist injektiv mit abgeschlossenem Bild, und die auf dem Bild definierte Umkehrabbildung
ist gleichmäßig stetig.
Übung 3.4.5. Ein beschränkter selbstadjungierter Operator T auf einem Hilbertraum
H heißt positiv semidefinit genau dann, wenn gilt
〈T v, v〉 ≥ 0 ∀v ∈ H
Man zeige, daß das Spektrum eines positiv semidefiniten Operators stets in
der nichtnegativen reellen Zahlengeraden enthalten ist. Hinweis: Man orientiere
sich am Beweis von 3.4.3.