Analysis

4. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN 853
Schemata und Supermannigfaltigkeiten wird eine noch allgemeinere Definition
des Konzepts eines geringten Raums benötigt. Wenn wir betonen wollen,
daß wir den hier erklärten einfacheren Begriff meinen, reden wir genauer von
einem durch Funktionen k-geringten Raum.
Beispiel 4.1.5. Erste Beispiele sind die R-geringten Räume (R n , C 1 ), die entstehen,
wenn wir R n mit seiner natürlichen Topologie versehen und als reguläre
Funktionen auf einer offenen Teilmenge U ⊂◦ R n alle stetig differenzierbaren
Funktionen nehmen.
Definition 4.1.6. Seien (X, OX) und (Y, OY ) zwei k-geringte Räume. Eine
Abbildung ϕ : X → Y heißt ein Morphismus von k-geringten Räumen
genau dann, wenn sie stetig ist und wenn das Davorschalten unserer Abbildung
reguläre Funktionen zu regulären Funktionen macht, wenn also in
Formeln aus U ⊂◦ Y und f ∈ OY (U) folgt f ◦ ϕ ∈ OX(ϕ −1 (U)). Die Menge
aller Morphismen von X nach Y bezeichnen wir mit Gerk(X, Y ) oder auch
kurz Ger(X, Y ). Ein Isomorphismus von k-geringten Räumen ist ein
bijektiver Morphismus, dessen Umkehrabbildung auch ein Morphismus ist.
Beispiel 4.1.7. Morphismen R-geringter Räume von (R n , C 1 ) nach (R m , C 1 )
sind genau die C 1 -Abbildungen. In der Tat ist jede C 1 -Abbildung offensichtlich
ein Morphismus, und umgekehrt sind für jeden Morphismus ϕ die ϕj :=
xj ◦ ϕ : R n → R für 1 ≤ j ≤ m notwendig C 1 -Funktionen, als da heißt, jeder
Morphismus ist auch umgekehrt eine C 1 -Abbildung.
4.1.8. Sind auf ein und derselben Menge X mehrere Strukturen als k-geringter
Raum gegeben, so bilden wir ihren Schnitt, indem wir diejenigen Mengen offen
nennen, die in jeder unserer Strukturen offen sind, und diejenigen Funktion
regulär, die in jeder unserer Strukturen regulär sind. Dieser Schnitt ist
dann offensichtlich auch eine Struktur als k-geringter Raum auf X.
4.1.9. Gegeben zwei Strukturen als k-geringter Raum auf derselben Menge
X nennen wir die eine größergleich als die andere genau dann, wenn die
Identität ein Morphismus von X mit dieser Struktur in X mit der anderen
Struktur ist. Salopp gesprochen sind also größere Strukturen solche“mit mehr
offenen Mengen oder mehr regulären Funktionen oder beidem”. Auf diese
Weise erhalten wir eine partielle Ordnung auf der Menge aller Strukturen als
k-geringter Raum auf einer vorgegebenen Menge X.
Definition 4.1.10. Seien X eine Menge, Yi beliebige k-geringte Räume indiziert
durch i ∈ I und ϕi : Yi → X Abbildungen. Die größte Struktur
eines k-geringten Raums auf X, für die alle ϕi Morphismen werden, heißt die
finale Struktur auf X in Bezug auf unsere Familie von Abbildungen.