Analysis

828 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Beweis. Sei f : X → Y stetig und X kompakt. Es gilt zu zeigen, daß auch
f(X) kompakt ist. Sei dazu U ein System von offenen Teilmengen von Y . So
gilt
f(X) ⊂
U∈U
für geeignete U1, . . . , Uk ∈ U.
U ⇒ X =
U∈U f −1 (U)
⇒ X = f −1 (U1) ∪ . . . ∪ f −1 (Uk)
⇒ f(X) ⊂ U1 ∪ . . . ∪ Uk
Definition 3.3.9. Eine Abbildung zwischen topologischen Räumen heißt
abgeschlossen genau dann, wenn das Bild jeder abgeschlossenen Menge
wieder abgeschlossen ist.
Satz 3.3.10. Eine stetige Abbildung von einem kompakten Raum in einen
Hausdorffraum ist stets abgeschlossen. Eine stetige bijektive Abbildung von
einem kompakten Raum auf einen Hausdorffraum ist stets ein Homöomorphismus.
Beweis. Sei X kompakt, Y Hausdorff und f : X → Y stetig und bijektiv. Es
reicht zu zeigen, daß f abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen
abbildet. Aber in der Tat gilt ja A ⊂ V X ⇒ A kompakt ⇒ f(A) kompakt
⇒ f(A) ⊂ V Y nach 3.3.7 und 3.3.8 und 3.3.6.
3.3.11. Die Hausdorff-Eigenschaft und die Kompaktheit sind Antagonisten:
Die Hausdorff-Eigenschaft verlangt nach vielen offenen Mengen, die Kompaktheit
nach wenigen. Ist beides gleichzeitig erfüllt, so kann man nach dem
vorhergehenden Satz 3.3.10 keine zusätzlichen Mengen als offen deklarieren,
ohne die Kompaktheit zu verlieren, und nicht weniger offene Mengen nehmen,
ohne die Hausdorff-Eigenschaft zu verlieren.
Satz 3.3.12. Eine stetige reellwertige Funktion auf einem nichtleeren kompakten
Raum ist beschränkt und nimmt ihr Maximum und ihr Minimum an.
Beweis. Ist X kompakt und f : X → R stetig, so ist f(X) ⊂ R auch
kompakt, also beschränkt und abgeschlossen. Haben wir zusätzlich X = ∅,
so folgt sup f(X), inf f(X) ∈ f(X).
Übung 3.3.13. Man sagt, ein System A ⊂ P(X) von Teilmengen einer Menge
X habe nichtleere endliche Schnitte genau dann, wenn für jedes endliche
Teilsystem E ⊂ A der Schnitt
A∈E A nicht leer ist. Man zeige: Ein topologischer
Raum X ist kompakt genau dann, wenn für jedes System A ⊂ P(X)
von abgeschlossenen Teilmengen von X mit nichtleeren endlichen Schnitten
auch der gesamte Schnitt nicht leer ist, in Formeln
A∈A A = ∅.