Analysis

2. FOLGEN UND REIHEN 113
Proposition 2.1.29. Für jede Folge xn von Null verschiedener reeller Zahlen
gilt
limn→∞ xn = 0 ⇔ limn→∞ |x −1
n | = ∞
Beweis. Für alle K > 0 gilt |x −1
n | ∈ (K, ∞] ⇔ xn ∈ (−K −1 , K −1 ). Gilt
also die rechte Seite bei vorgegebenem K > 0 für fast alle Folgenglieder, so
auch die Linke. Ebenso gilt für alle ε > 0 offensichtlich xn ∈ (−ε, ε) ⇔
|x −1
n | ∈ (ε −1 , ∞]. Gilt also die rechte Seite bei vorgegebenem ε > 0 für fast
alle Folgenglieder, so auch die Linke.
2.1.30. Vereinbaren wir 1/|∞| = 1/|−∞| = 0 und |1/0| = ∞, so gilt diese
Proposition mit demselben Beweis sogar für jede Folge in R.
Proposition 2.1.31. Die folgende Tabelle beschreibt das Konvergenzverhalten
der Folge (x n )n∈N der Potenzen von x in Abhängigkeit von x:
x > 1 limn→∞ x n = ∞;
x = 1 limn→∞ x n = 1;
|x| < 1 limn→∞ x n = 0;
x ≤ −1 Die Folge x n divergiert unbestimmt.
Beweis. Im Fall x > 1 schreiben wir x = 1 + y mit y > 0 und erhalten mit
der binomischen Formel
x n = (1 + y) n ≥ 1 + ny
Aber natürlich gilt 1 + ny ≥ K genau dann, wenn gilt n ≥ (K − 1)/y, und
das gilt bei festem K für fast alle n. Im Fall x = 1 ist die Folge konstant 1
und es ist nichts zu zeigen. Falls 0 < |x| < 1 gilt nach dem Vorhergehenden
limn→∞ |1/x n | = ∞ und daraus folgt mit Proposition 2.1.29 limn→∞ x n = 0.
Für x = 0 gilt das natürlich eh. Im Fall x ≤ −1 gilt |x n − x n+1 | ≥ 2
für alle n. Also kann die Folge nicht gegen eine reelle Zahl a konvergieren,
denn dann müßte gelten |a − x n | < 1 für fast alle n und dann nach der
Dreiecksungleichung |x n − x n+1 | < 2 für fast alle n. Die Folge kann in diesem
Fall aber auch nicht gegen ±∞ konvergieren, da die Folgenglieder immer
abwechselnd positiv und negativ sind.
Lemma 2.1.32 (Quetschlemma). Sind in R drei Folgen an, bn, cn gegeben
mit an ≤ bn ≤ cn für alle n, und konvergieren an und cn gegen denselben
Grenzwert, so konvergiert auch bn gegen diesen Grenzwert.
Ergänzung 2.1.33. In der französischen Literatur trägt dieses Lemma auch
die hintersinnige Bezeichnung théorème des gendarmes.