Analysis

1120 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
M ein Punkt. Wir nennen f differenzierbar bei p genau dann, wenn für
eine oder nach der Kettenregel 13.1.4 gleichbedeutend jede Karte ϕ : U → M
die Komposition f ◦ ϕ : U → V differenzierbar ist. In diesem Fall können wir
für alle p ∈ M das Differential
dpf : TpM → V
definieren durch die Eigenschaft dpf ◦dqϕ = dq(f ◦ϕ) für eine und jede Karte
ϕ : U → M mit ϕ(q) = p.
Satz 13.1.6 (Kettenregel, zweite Variante). Sei f : M → N eine differenzierbare
Abbildung von Mannigfaltigkeiten, g : N → W eine Abbildung
von N in einen Hausdorff’schen topologischen Vektorraum W und p ∈ M
ein Punkt. Ist g differenzierbar in f(p) ∈ N, so ist auch g ◦ f differenzierbar
in p und es gilt
dp(g ◦ f) = (df(p)g) ◦ (dpf) : TpM → W
Satz 13.1.7 (Kettenregel, dritte Variante). Sei M eine Mannigfaltigkeit
und seien V, W Hausdorff’sche topologische Vektorräume. Sei f : M → V
eine Abbildung und L : V → W eine stetige lineare Abbildung. Ist f : M → V
differenzierbar an einer Stelle p ∈ M, so ist auch L ◦ f differenzierbar in p
und es gilt
dp(L ◦ f) = L ◦ (dpf) : TpM → W
Satz 13.1.8 (Komponentenregel). Seien M eine Mannigfaltigkeit und
V1, V2 Hausdorff’sche topologische Vektorräume und f = (f1, f2) : U → V1 ×
V2 eine Abbildung. Genau dann ist f differenzierbar bei p ∈ M, wenn f1 und
f2 es sind, und dann gilt für die Differentiale die Formel
dpf = (dpf1, dpf2) : TpM → V1 × V2
13.1.9. Als Folgerung aus der Komponentenregel und der zweiten Variante
der Kettenregel ergibt sich insbesondere die übliche Summenregel für das
Differential der Summe zweier Abbildungen.
Satz 13.1.10 (Mittelwertsatz). Sei V ein Hausdorff’scher topologischer
Vektorraum, a < b reelle Zahlen und γ : [a, b] → V eine differenzierbare
Abbildung. Sei C ⊂ V konvex mit γ ′ (t) ∈ C für alle t ∈ [a, b]. Ist C offen
oder abgeschlossen in V, so folgt
γ(b) − γ(a) ∈ (b − a)C
Beweis. Man kopiere den Beweis von II.7.2.11.