Analysis

1170 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Ergänzung 17.3.15. Ein Gitter in einer unimodularen lokal kompakten Hausdorff’schen
Gruppe ist eine diskrete Untergruppe mit der Eigenschaft, daß
der Quotient danach endliches Volumen hat.
17.4 Der Satz von Tychonoff
17.4.1. Der Satz von Tychonoff besagt, daß das Produkt über eine beliebige
Familie von kompakten Räumen kompakt ist. Der Beweis wird nach einigen
Vorbereitungen zu Ende dieses Abschnitts gegeben. Den einfacheren Fall einer
abzählbaren Familie kompakter metrischer Räume sollten Sie bereits als
Übung 3.6.23 erledigt haben. Ich erinnere an die Grundlagen zu Filtern nach
11.7.
Definition 17.4.2. Ein Filter F auf einer Menge X heißt ein Ultrafilter
genau dann, wenn er ein echter Filter ist und wenn für jede Teilmenge A ⊂ X
entweder A selbst oder sein Komplement X\A zu F gehört.
Beispiel 17.4.3. Ist X eine Menge und x ∈ X ein Punkt, so ist das System
aller Teilmengen von X, die x enthalten, ein Ultrafilter.
Lemma 17.4.4. Die Ultrafilter auf einer Menge sind genau die maximalen
echten Filter auf besagter Menge, und jeder echte Filter läßt sich vergrößern
zu einem Ultrafilter.
Beweis. Ein Ultrafilter ist offensichtich maximal. Ist umgekehrt F ein echter
Filter aber kein kein Ultrafilter, so gibt es B ⊂ X mit B ∈ F und X\B ∈ F.
Wir behaupten, daß entweder gilt B ∩ F = ∅ ∀F ∈ F oder (X\B) ∩ F =
∅ ∀F ∈ F. Sonst gäbe es nämlich F, G ∈ F mit B∩F = ∅ und (X\B)∩G =
∅, und damit F ∩ G = ∅ im Widerspruch zur Annahme, daß F ein echter
Filter ist. Sei also ohne Beschränkung der Allgemeinheit B∩F = ∅ ∀F ∈ F.
Dann bilden alle Obermengen zu solchen Schnitten selbst einen echten Filter
˜F ⊃ F mit B ∈ ˜ F und F war kein maximaler echter Filter. Die zweite
Aussage folgt aus der ersten mit dem Zorn’schen Lemma ??.
Bemerkung 17.4.5. Unter der Bijektion P(X) ∼ → Ens(X, F2), die jeder Teilmenge
die charakteristische Funktion ihres Komplements zuordnet, entsprechen
die Ultrafilter genau den maximalen Idealen, die ja auch als maximale
echte Ideale definiert sind.
Lemma 17.4.6. Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann, wenn jeder
Ultrafilter in besagtem Raum konvergiert.