Analysis

1268 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
stattfindende Ereignisse verbindet, wenn diese “gleichzeitig” stattfinden oder
genauer derart, daß sich die von ihnen ausgehenden Lichtsignale genau in
der Mitte unseres Urmeters treffen. Ein anderes ausgezeichnetes Element l ′
von L + würde durch die Vorschrift l ′ = q ′−1/2 festgelegt für q ′ die homogene
quadratische Funktion mit q ′ (s) = −1 für s den Richtungsvektor der
Raumzeit, der zwei Ereignisse verbindet, von denen das zweite auf derselben
Uhr eine Sekunde später stattfindet. Hierbei gehen wir davon aus, daß die
Enden unseres Urmeters parallele Geraden in der Raumzeit bilden und daß
unsere Uhr eine Gerade in der Raumzeit beschreibt. Wir haben dann l ′ = cl
für c ∈ R die Zahl der Meter, die das Licht in einer Sekunde zurücklegt.
Zwischen den entsprechenden quadratischen Funktionen bestünde dahingegen
die Beziehung q ′ = c −2 q. Nun liefert die Multiplikation eine kanonische
Identifikation R ×R>0 Q + ∼ → Q. Bilden wir umgekehrt zum R>0-Torsor L +
der relativistischen Längeneinheiten den zugehörigen orientierten eindimensionalen
R-Vektorraum
L = R ×R>0 L +
so können wir einen Isomorphismus L ⊗2 ∼ → Q ∗ festlegen durch die Bedingung,
daß für die zugehörige multilineare Abbildung Q⊗L⊗L → R und alle q ∈ Q +
gilt (q, q −1/2 , q −1/2 ) ↦→ 1. Damit wird unsere Lorentzmetrik dann schließlich
eine vollständig kanonische bilineare Abbildung
l : X × X → L ⊗2
3.20 Der Spannungstensor
3.20.1. Die Bezeichnung “Tensor” kommt von lateinisch “tendere” für “spannen”.
Im heutigen Sprachgebrauch ist jedoch der sogenannte “Spannungstensor”
nur einer unter vielen. Um diesen Tensor zu verstehen, denken wir
uns einen Schraubenschlüssel, mithilfe dessen wir eine festsitzende Radmutter
zu lösen versuchen. Wir ziehen mit aller Kraft, aber die Radmutter rührt
sich nicht. Die dabei im Schraubenschlüssel auftretenden Spannungen wollen
wir nun mathematisch beschreiben. Sei dazu E der Anschauungsraum und
s : E × E → L ⊗2 das zugehörige kanonische Skalarprodukt im Sinne von ??.
Die Punkte des Raums innerhalb des angesetzten Schraubenschlüssels modellieren
wir als eine halboffene Teilmenge S ⊂ E. Beim Anziehen deformiert
sich unser Schlüssel ein wenig, und diese Deformation modellieren wir als eine
stetig differenzierbare Abbildung ϕ : S → E, die “fast die Einbettung ist” und
die jedem Punkt im Schraubenschlüssel den Punkt des Raums zuordnet, in
den er durch unsere Deformation bewegt wird. In erster Näherung hat diese
Deformation nach IV.1.2.3 an einer Stelle p ∈ S des Schraubenschlüssels die