Analysis

10. FUNKTIONEN AUF KOMPAKTEN LIEGRUPPEN 1057
10.10 Faltungsoperation auf Darstellungen
10.10.1. Ist V eine endlichdimensionale komplexe stetige Darstellung einer
kompakten Liegruppe G, so läßt sich die Operation des Gruppenrings CG
auf V erweitern zu einer Operation des Rings M(G) aller komplexen topologischen
Maße durch die Vorschrift
µ ∗ v =
gv µ〈g〉
Das Integral ist hier im Sinne von V.1.1.1 zu verstehen. Wir betrachten nun
das Diagramm
L∈irr G
L 1 (L
(G)
∪ ↘
∗ ⊗C L) L 2 (G) M(G) →
↘ ∪ ∪
C(G) CG
M∈irr G
EndC M
in dem die Morphismen zwischen den Spalten der Reihe nach zu verstehen
sind als die Matrixkoeffizientenabbildung, die Multiplikation mit dem normierten
Haar-Maß und durch die Operation von Maßen auf Darstellungen.
Im Fall einer endlichen Gruppe sind alle vertikalen Inklusionen Gleichheiten
und die Multiplikation mit dem Haar-Maß bedeutet schlicht die Multiplikation
mit |G| −1 auf dem Gruppenring C(G) = CG. Nun bestimmen wir genauso
wie in ?? die Verknüpfungen in der Horizontalen.
Satz 10.10.2 (Fouriertransformation und Orthogonalitätsrelationen).
Sei G eine kompakte Liegruppe.
1. Sind L, M irreduzible stetige komplexe Darstellungen von G, so ist die
Verknüpfung
L ∗ ⊗C L → C(G) → EndC M
der Matrixkoeffizientenabbildung mit der Operation durch Faltung die
Nullabbildung im Fall M ∼ = L ∗ . Gibt es dahingegen einen Isomorphismus
von Darstellungen i : M ∼ → L ∗ , so fällt unsere Verknüpfung zusammen
mit dem (dim L) −1 -fachen der Verknüpfung
L ∗ ⊗C L ∼ → EndC L ∗ ∼ → EndC M
des kanonischen Isomorphismus mit der Abbildung f ↦→ i ◦ f ◦ i −1 .