Analysis

330 KAPITEL III. ANALYSIS MIT KOMPLEXEN ZAHLEN
3. Motiviert durch unsere Erkenntnisse bei der Lösung von 2.1.6 beginnen
wir mit dem Ansatz f(t) = e λt für λ ∈ C. Mögliche λ sind dann genau die
Nullstellen des Polynoms X n + an−1X n−1 + . . . + a1X + a0. Ist λ eine Nullstelle
der Vielfachheit r, so sind sogar, wieder in Verallgemeinerung unserer
Erkenntnisse bei der Lösung von 2.1.6, auch t e λt , . . . , t r−1 e λt noch Lösungen
unserer Gleichung. Um das einzusehen, betrachten wir den Vektorraum
C ∞ (R) aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen R → C und fassen das
Ableiten auf als eine lineare Abbildung
D : C ∞ (R) → C ∞ (R)
Zerfällt unser Polynom in Linearfaktoren
X n + an−1X n−1 + . . . + a0 = (X − λ1) n1 . . . (X − λr) nr
so können wir den Operator D n +an−1D n−1 +. . .+a0 : C ∞ (R) → C ∞ (R) auch
schreiben als Verknüpfung der Operatoren (D − λi) ni , und es reicht folglich
(D − λ) r t r−1 e λt = 0 nachzuweisen. Nun gilt aber offensichtlich
(D − λ)t m e λt = mt m−1 e λt
und die Behauptung folgt per Induktion. Um zu zeigen, daß die t j e tλi für
0 ≤ j < ni eine Basis des Lösungsraums bilden, reicht es die lineare Unabhängigkeit
nachzuweisen. Beherrscht man die zugehörige lineare Algebra, so
erkennt man leicht, daß die t m e λt jeweils zum Hauptraum Hau(D; λ) gehören
und muß wegen ?? nur noch die lineare Unabhängigkeit der t m e λt für festes
λ und variables m zeigen, die hinwiederum sofort aus der linearen Unabhängigkeit
der Funktionen t m folgt. Man vergleiche auch ??.
Beherrscht man die zugehörige lineare Algebra noch nicht, so muß man mehr
arbeiten. Man setzt dann etwa eine Linearkombination cjit j e λit = 0 an
und muß zeigen, daß alle cji verschwinden. Sonst könnten wir aber nach
eventueller Umnummerierung der Nullstellen ein k finden mit ck1 = 0 aber
cj1 = 0 für j > k. Wenden wir dann auf unsere Summe den Differentialoperator
(D − λ1) k (D − λ2) N . . . (D − λr) N an für hinreichend grosses N, so ergibt
sich ck1 e tλ1 = 0 im Widerspruch zu unserer Annahme ck1 = 0.
Ergänzende Übung 2.2.4. Man bestimme eine Basis des komplexen sowie des
reellen Lösungsraums der Differentialgleichung f ′′′ = f.
2.3 Gekoppelte Schwingungen
Beispiel 2.3.1. An gegenüberliegenden Wänden eines Zimmers ist jeweils ein
Wägelchen mit einer Feder befestigt und die beiden Wägelchen sind auch