Analysis

2. FOLGEN UND REIHEN 125
Seien x, y : R 2 → R die beiden Abbildungen, die jedem Punkt der Ebene
seine erste bzw. zweite Koordinate zuordnen, also v = (x(v), y(v)) ∀v ∈ R 2 .
Die Distanz d(v, w) ∈ R zwischen zwei Punkten v, w ∈ R 2 der Ebene erklären
wir in Erinnerung an den Satz des Pythagoras durch die Formel
d(v, w) := (x(v) − x(w)) 2 + (y(v) − y(w)) 2
Die Kreiszahl π ∈ R definieren wir dann als das Supremum über die“Längen
aller in unseren Halbkreis H einbeschriebenen Polygonzüge”, in Formeln
n
π := sup d(vi−1, vi)
n ∈ N, v0,
v1, . . . , vn ∈ H,
x(v0) < x(v1) < . . . < x(vn)
i=1
Mithilfe der Abschätzung √ a 2 + b 2 ≤ |a| + |b| erkennt man, daß die Zahl
4 eine obere Schranke ist für unsere Menge von Längen von Polygonzügen,
mithin haben wir hier in der Tat eine reelle Zahl π ∈ R definiert. Wir werden
in 7.6.19 sehen, wie man diese Zahl im Prinzip bis zu einer beliebig vorgegebenen
Stelle nach dem Komma berechnen kann. Die Definition selbst ist sehr
einfach. Ich habe sie nur deshalb nicht gleich im Zusammenhang mit der Definition
der reellen Zahlen gegeben, weil sie die Existenz von Quadratwurzeln
benötigt, die erst in 2.3.2 gezeigt wurde.
Ergänzung 2.4.2. Die Zahl π ist nicht rational, in Formeln π ∈ Q, wie Lambert
bereits 1766 zeigen konnte. Anders ausgedrückt läßt sich π nicht durch
einen periodischen Dezimalbruch darstellen. Wir geben einen Beweis in 7.6.7.
Unsere Kreiszahl π ist noch nicht einmal algebraisch, als da heißt Nullstelle
eines nichttrivialen Polynoms mit rationalen Koeffizienten, d.h. es gilt keine
Gleichung der Gestalt
π n + qn−1π n−1 + . . . + q1π + q0 = 0 mit qn−1, . . . , q0 ∈ Q und n ≥ 1.
Reelle Zahlen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent, lateinisch
für “überschreitend”, da ihre Behandlung “die Grenzen der Algebra überschreitet”.
Die Transzendenz von π wurde 1882 von Lindemann in Freiburg
bewiesen. Seine Büste steht im vierten Stock des Mathematischen Instituts.
Er war übrigends Hilbert’s Doktorvater.
2.5 Grenzwerte von Reihen
Definition 2.5.1. Sei (ak)k∈N eine Folge reeller Zahlen. Der Ausdruck
∞
k=0
ak