Analysis

604 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Beweis von 7.6.8 im Allgemeinen. Gilt unsere Formel für ω und η, so nach
der Produktregel auch für ω ∧η. Es reicht also, unsere Formel für Funktionen
alias Nullformen und für konstante 1-Formen zu zeigen. Der Fall von Funktionen
ist 3.1.19. Für eine konstante 1-Form ω◦ und φ beliebig haben wir
hinwiederum ω◦ = da für eine geeignete Funktion a, genauer für jede affine
Abbildung a von unserem affinen Raum nach R mit linearem Anteil a = ω◦,
und damit ergibt sich dφ ∗ ω◦ = dφ ∗ da = ddφ ∗ a = 0 = φ ∗ 0 = φ ∗ dω◦, wo wir im
mittleren Schritt verwenden, daß uns die Regel φ ∗ da = dφ ∗ a für Funktionen
a ja bereits aus 3.1.19 zur Verfügung steht.
Übung 7.6.11. Prüfen Sie für die Differentialform x 2 dx∧dy −4 e y dx∧dz, daß
erst die äußere Ableitung bilden und dann auf Kugelkoordinaten übergehen
dasselbe Resultat liefert wie erst auf Kugelkoordinaten übergehen und dann
die äußere Ableitung bilden.
Übung 7.6.12. Zeigen Sie, daß für eine stetig differenzierbare k-Form ω auf
dem R 3 mit k ≥ 1 die Bedingung dω = 0 gleichbedeutend ist zur Bedingung,
daß es eine stetig differenzierbare (k−1)-Form η auf dem R 3 gibt mit ω = dη.
Ergänzende Übung 7.6.13. Bezeichnen wir die Koordinaten des R 4 mit x, y, z, t
und betrachten auf dem R 4 eine allgemeine glatte 2-Form
F = E 1 dx ∧ dt + E 2 dy ∧ dt + E 3 dz ∧ dt
+B 1 dy ∧ dz + B 2 dz ∧ dx + B 3 dx ∧ dy
So ist die Gleichung dF = 0 äquivalent zu den beiden Gleichungen
div B = 0 und rot E = − ∂B
∂t
für rot der Rotation wie in 3.6.12 und div B der “Divergenz” alias der Summe
der partiellen Ableitungen nach x, y und z wie in 7.8.12. Leser mit physikalischer
Vorbildung erkennen für H = cB die beiden ersten Maxwell’schen
Gleichungen im Vakuum. Der Formalismus der Verwandtschaft von Differentialformen
sagt uns dann, in welcher Weise solch ein elektromagnetisches
Feld F in anderen Koordinaten geschrieben werden muß, und daß zumindest
die beiden ersten Maxwell’schen Gleichungen nicht von der Wahl der Koordinaten
abhängen. Wie man sogar alle vier Maxwell’schen Gleichungen im
Vakuum ähnlich elegant formulieren kann, wird in VII.3.17.1 erklärt.
7.7 Berandete Untermannigfaltigkeiten
7.7.1. Wir werden im folgenden Gebilde betrachten wollen wie etwa die Halbkugelschale
mit Äquator {(x, y, z) ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0}. Das ist