Analysis

1008 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
finden. Weiter sagt uns ˜ F4, daß bei fünf oder mehr Knoten eine Kante höherer
Wertigkeit nur am Ende vorkommen kann. Wegen Z5 kommen deshalb
als unverzweigte zusammenhängende Graphen mit fünf oder mehr Knoten
nur An und Bn in Betracht. Im Fall von drei oder vier Knoten kommen bei
einer höheren Wertigkeit einer Randkante wegen ˜ G2 zusätzlich nur H3 und
H4 in Betracht, und bei einer höheren Wertigkeit einer Mittelkante wegen
Z4 nur F4. Damit ist gezeigt, daß wir in unserer Liste der positiv definiten
zusammenhängenden Coxetergraphen keine unverzweigten Graphen vergessen
haben. Was die verzweigten Graphen angeht, zeigt ˜ Dn mit n ≥ 5, daß
ein positiv definiter Coxetergraph höchstens einen Verzweigungspunkt haben
kann. Dann zeigt ˜ D4, daß er sich daselbst nicht in mehr als drei Äste
verzweigen kann. Dann zeigt ˜ Bn, daß darin überhaupt keine Kante höherer
Wertigkeit vorkommen kann. Dann zeigt ˜ E6, daß einer der drei Äste nur aus
einer Kante besteht, und ˜ E7, daß ein zweiter der drei Äste aus höchstens
zwei Kanten besteht, und ˜ E8, daß im Fall eines Astes mit einer und eines
Astes mit zwei Kanten der dritte Ast höchstens aus vier Kanten bestehen
darf. Damit kommen im verzweigten Fall in der Tat nur Dn und E6, E7, E8
in Frage, und wir haben gezeigt, daß wir in unserer Liste der positiv definiten
zusammenhängenden Coxetergraphen auch keine verzweigten Graphen
vergessen haben.
Zweiter Beweis von 7.6.11. Kennt man ??, das auch hier bewiesen werden
könnte, so muß man zu Anfang des Beweises nur für die zu den Graphen
auf Seite 1006 gehörigen Cosinusmatrizen Vektoren des Kerns mit positiven
Einträgen angeben, um zu erkennen, daß die zugehörigen Cosinusmatrizen
positiv semidefinit sind, alle ihre echten Untermatrizen jedoch positiv definit.
Dann geht der Beweis so weiter wie gehabt.
7.6.18. Ich finde an diesem Beweis äußerst bemerkenswert, in welchem Maße
er durch die Verwendung unmathematischer Sprache an Klarheit gewinnt, ja
recht eigentlich erst verständlich wird. Stellen Sie sich bloß einmal vor, die
Coxetergraphen wären noch nicht erfunden und Sie sollten denselben Beweis
in der äquivalenten und a priori deutlich präziseren Sprache der Coxetermatrizen
führen, ja noch schlimmer, verstehen!
Ergänzung 7.6.19. Unter einer komplexen Spiegelung versteht man einen
Automorphismus eines komplexen Vektorraums, dessen Fixpunktmenge eine
Hyperebene ist. Eine komplexe Spiegelungsgruppe ist eine endliche
Untergruppe der Automorphismengruppe eines komplexen Vektorraums, die
von komplexen Spiegelungen erzeugt wird. Typische Beispiele sind die Gruppen
G(a, b, n) ⊂ GL(n; C) für a, b ∈ N≥1 mit b|a aller Matrizen mit genau