Analysis

180 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Beweis. Teil 1 folgt sofort aus 4.1.7 mit der Kettenregel. Teil 2 folgt aus Teil
1 mit der Produktregel.
4.2.7. Ist D ⊂ R eine halboffene Teilmenge und sind g, f : D → R differenzierbar
und hat f keine Nullstelle auf D, so ist mithin auch g/f differenzierbar
auf D mit Ableitung
′
g
=
f
g′ f − gf ′
f 2
Lemma 4.2.8 (Ableitung der Exponentialfunktion). Die Exponentialfunktion
ist ihre eigene Ableitung, in Formeln exp ′ (p) = exp(p) ∀p ∈ R.
Beweis. In 5.1.15 werden wir lernen, daß man “Potenzreihen gliedweise differenzieren
darf”. Da wir das aber bis jetzt noch nicht wissen, müssen wir
etwas mehr arbeiten. Wir bestimmen zunächst die Ableitung der Exponentialfunktion
an der Stelle p = 0 und erhalten
exp ′ (0) = limx→0 exp(x)−exp(0)
x−0
= limx→0
= limx→0
= 1
∞
i=2
∞
i=1
x i−1
i!
1 + x ∞
i=2
xi−2
i!
x nach 3.3.15 und 3.3.14, da ja
i−2
i! für |x| ≤ 1 beschränkt ist durch die
Euler’sche Zahl e. Um exp ′ (p) für beliebiges p zu bestimmen, rechnen wir
exp ′ (p) = limh→0 exp(p+h)−exp(p)
h
= limh→0
= exp(p)
exp(h) − 1
h
exp(p)
wo wir im letzten Schritt den schon behandelten Fall p = 0 verwenden und
formal im ersten Schritt 3.3.21 benutzen, um den Grenzwert x → p in einen
Grenzwert h → 0 umzuformen.
Satz 4.2.9 (Ableitung von Umkehrfunktionen). Sei I ⊂ R ein halboffenes
Intervall und sei f : I → R streng monoton, stetig auf I und differenzierbar
bei p ∈ I mit Ableitung f ′ (p) = 0. So ist auch die Umkehrfunktion
f −1 : f(I) → R differenzierbar bei q = f(p) mit Ableitung
(f −1 ) ′ (q) = 1/f ′ (f −1 (q))