Analysis

334 KAPITEL III. ANALYSIS MIT KOMPLEXEN ZAHLEN
Nehmen wir zum Beispiel an, unsere Decke vibriere mit h(t) = k sin(ωt) für
ω > 0, so ergibt sich die erste Komponente g1(t) von g(t) zu
ei τω − e− i τω
dτ
g1(t) = − ka
t i τη e 2 i η
= ka
4η
2 i
t e i τ(η+ω) dτ − ka
4η
= konst + ka
4 i η(η+ω) ei t(η+ω) −
t i τ(η−ω) e dτ
ka
4 i η(η−ω) ei t(η−ω) falls η = ω;
kat
falls η = ω.
4η
Ähnlich berechnen wir g2(t) und erkennen, daß in dem Fall, daß die Eigenfrequenz
der Lampe nahe an der Frequenz der Decke ist, d.h. für |η − ω|
klein, die Schwingung sehr groß werden kann und im Fall η = ω die Auslenkung
eventuell sogar gegen Unendlich strebt. In der Physik spricht man in
diesen Fällen von Resonanz bzw. von einer Resonanzkatastrophe. Seien
die Eigenschwingung unseres Systems t ↦→ e i tη und die Anregung t ↦→ h(t)
oder gleichbedeutend t ↦→ f(t) periodisch mit derselben Periode p im Sinne
der gleich folgenden Definition 3.1.1. Nehmen wir der Einfachkeit halber
p = 2π an, so finden wir η ∈ Z, und entwickeln wir f in eine Fourierreihe
im Sinne von 3.1.3, so zeigt unsere obige Formel g(t) = t exp(−τB)f(τ) dτ,
daß nur die Summanden c±η e ± i tη für die Resonanz verantwortlich sind in
dem Sinne, daß alle anderen Summanden der Fourierreihe nur periodische
Beiträge zu g(t) liefern. Später in V.2.1.1 folgende werden Sie lernen, daß
g1(t) im allgmeinen bis auf eine Konstante auch interpretiert werden kann
als der “Wert bei −η der Fouriertransformierten des Produkts von f1 mit der
charakteristischen Funktion des Intervalls [0, t]”.